Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=mx+1與雙曲線y=

k

x

（k＞0）相交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)D（2，-3），連結(jié)OA、OD、DC、AC，四邊形AODC為菱形．
（1）求k和m的值．
（2）當(dāng)x取何值時，反比例函數(shù)值不小于一次函數(shù)值．
（3）設(shè)點(diǎn)P是y軸上一動點(diǎn)，且△OAP的面積等于菱形OACD的面積，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連接AD，與x軸交于點(diǎn)E，由四邊形AODC為菱形，得到AE=DE，OE=CE，根據(jù)D坐標(biāo)確定出DE的長，確定出AE與OE的長，進(jìn)而求出A的坐標(biāo)，將A坐標(biāo)代入直線解析式求出m的值，代入反比例解析式求出k的值；
（2）聯(lián)立兩函數(shù)解析式求出B坐標(biāo)，根據(jù)A與B橫坐標(biāo)，利用圖象求出反比例函數(shù)值不小于一次函數(shù)值時x的范圍即可；
（3）根據(jù)OC與AD的長，求出菱形ABCD的面積，設(shè)P（0，p），由OP為底，A橫坐標(biāo)為高表示出△OAP面積，根據(jù)△OAP的面積等于菱形OACD的面積，列出關(guān)于p的方程，求出方程的解即可得到p的值．

解答：解：（1）連接AD，與x軸交于點(diǎn)E，
∵D（2，-3），
∴OE=2，ED=3，
∵菱形AODC，
∴AE=DE=3，EC=OE=2，
∴A（2，3），
將A坐標(biāo)代入直線y=mx+1得：2m+1=3，即m=1，
將A坐標(biāo)代入反比例y=

k

x

得：k=6；
（2）聯(lián)立直線與反比例解析式得：

y=x+1 y= 6 x

，
消去y得：x+1=

6

x

，
解得：x=2或x=-3，
將x=-3代入y=x+1得：y=-3+1=-2，即B（-3，-2），
則當(dāng)x≤-3或0＜x≤2時，反比例函數(shù)值不小于一次函數(shù)值；
（3）∵OC=2OE=4，AD=2DE=6，
∴S_菱形AODC=

1

2

OC•AD=12，
∵S_△OAP=S_菱形OACD，即

1

2

OP•OE=12，
∴設(shè)P（0，p），則

1

2

×|p|×2=12，即|p|=12，
解得：p=12或p=-12，
則P的坐標(biāo)為（0，12）或（0，-12）．

點(diǎn)評：此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識有：菱形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用了數(shù)形結(jié)合的思想，熟練掌握反比例函數(shù)性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．