Question

將一張半徑為4的圓形紙片（如圖①）連續(xù)對折兩次后展開得折痕AB、CD，且AB⊥CD，垂足為M（如圖②），之后將紙片如圖③翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)M重合，折痕EF與AB相交于點(diǎn)N，連接AE、AF（如圖④），則△AEF的面積是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：連接ME，根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠MEN=30°，然后求出∠EMN=60°，根據(jù)等邊對等角求出∠AEM=∠EAM，然后利用三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和求出∠AEM=30°，從而得到∠AEF=60°，同理求出∠AFE=60°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和等于180°求出∠EAF=60°，從而判定△AEF是等邊三角形，求出MN、EN，然后求出AN、EF，再根據(jù)三角形的面積公式求即可．

解答：解：連接ME，
∵紙片沿EF折疊，B、M兩點(diǎn)重合，
∴BN=MN，則ME=MB=2MN，
∴∠MEN=30°，
∴∠EMN=90°-30°=60°，
又∵AM=ME（都是半徑），
∴∠AEM=∠EAM，
∴∠AEM=

1

2

∠EMN=

1

2

×60°=30°，
∴∠AEF=∠AEM+∠MEN=30°+30°=60°，
同理可求∠AFE=60°，
∴∠EAF=60°，
∴△AEF是等邊三角形，
則MN=

1

2

BN=

1

2

×4=2，EN=

EM2-MN2

=2

3

，
∴EF=2EN=4

3

，AN=AM+MN=6，
∴△AEF的面積為：

1

2

×EF×AN=

1

2

×4

3

×6=12

3

．
故答案為：12

3

．

點(diǎn)評：本題圓的綜合題型，主要考查了翻折變換的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，綜合題，但難度不大，仔細(xì)分析便不難求解．