Question

如圖，矩形ABCD中，AB=2

2

，AD=4，M點(diǎn)為線段BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連AM，N點(diǎn)為線段AM上一點(diǎn)，若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點(diǎn)有且只有三個(gè)，則線段BM的長(zhǎng)為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的性質(zhì),等腰三角形的判定

專題：動(dòng)點(diǎn)型

分析：若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點(diǎn)有且只有三個(gè)，則這三個(gè)點(diǎn)分別是CD的垂直平分線與AM的交點(diǎn)，以C為圓心以CD長(zhǎng)為半徑的圓與AM的交點(diǎn)，以D為圓心DC長(zhǎng)為半徑的圓與AM的切點(diǎn)，所以當(dāng)DN=DC時(shí)，DN⊥AM，根據(jù)勾股定理求得AN=2

2

，然后求得△ABM≌△DNA，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出BM=AN=2

2

．

解答：解：若△NCD為等腰三角形，且滿足條件的N點(diǎn)有且只有三個(gè)，則這三個(gè)點(diǎn)分別是CD的垂直平分線與AM的交點(diǎn)，以C為圓心以CD長(zhǎng)為半徑的圓與AM的交點(diǎn)，以D為圓心DC長(zhǎng)為半徑的圓與AM的切點(diǎn)，
所以當(dāng)DN=DC時(shí)，DN⊥AM，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AB=CD，
∵CD=DN，
∴AB=DN，
∴∠DAN=∠AMB，
∵∠B=∠AND=90°，
在△ABM與△DNA中

∠DAN=∠AMB ∠B=∠AND=90° AB=DN

∴△ABM≌△DNA（AAS），
∴BM=AN，
∵DN=DC=AB=2

2

，AD=4，
∴AN=

AD2-DN2

=2

2

，
∴BM=2

2

；
故答案為2

2

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點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形全等的判定和性質(zhì)以及圓的切線的性質(zhì)等，本題關(guān)鍵是當(dāng)DN=DC時(shí)，DN⊥AM；