Question

如圖所示，在某高新技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)中，相距200m的A、B兩地的中點(diǎn)O處有一精密儀器研究所，為了保證研究的正常進(jìn)行，在其周圍50m以內(nèi)不得有機(jī)動(dòng)車輛通過(guò)，現(xiàn)在要從A到B修一條公路，有兩種修路方案：
方案一：分別由A、B向以O(shè)為圓心，半徑為50m的半圓引切線，切點(diǎn)分別為M、N，沿線段AM、圓弧MN、線段NB修路；
方案二：分別由A、B向以O(shè)為圓心，半徑為50m的半圓引切線，兩切線相交于P，沿線段AP、PB修路．
哪種修路方案更節(jié)省，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明道理．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì)

專題：應(yīng)用題

分析：如圖，作輔助線；在方案一中，求出∠A、∠MOA的度數(shù)；進(jìn)而求出AM的長(zhǎng)度；求出

MN

的長(zhǎng)度，即可求出道路的總長(zhǎng)度；在方案二中，運(yùn)用類似的方法求出道路的總長(zhǎng)度，經(jīng)比較，即可解決問(wèn)題．

解答：解：方案一，如圖①，連接OM、ON；
∵AM、AN分別是半圓O的切線，
∴AM⊥OM，ON⊥BN；
∵OM=50，OA=100，
∴∠A=30°，∠AOM=60°；
∵cos30°=

AM

AO

，AM=100×

3

2

=50

3

，；
同理可求：∠BON=60°，BN=50

3

，
∴∠MON=180°-120°=60°；

MN

的長(zhǎng)度=

60π×50

180

=

50π

3

，
∴在方案一中，道路的總長(zhǎng)度=100

3

+

50π

3

（m）．
方案二，如圖②，
由方案一知：∠A=∠B=30°，而AO=BO，
∴PO⊥AB；
∵cos30°=

AO

AP

，而AO=100，
∴AP=

200 3

3

，同理可求BP=

200 3

3

，
∴在方案二中，道路的總長(zhǎng)度=

400 3

3

（m）．
∴經(jīng)比較方案一更節(jié)�。�

點(diǎn)評(píng)：該題主要考查了切線的性質(zhì)及其應(yīng)用問(wèn)題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，靈活運(yùn)用直角三角形的邊角關(guān)系、扇形的弧長(zhǎng)公式等幾何知識(shí)來(lái)分析、解答．