Question

【題目】已知中，點(diǎn)是延長線上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作，平分，平分，與交于點(diǎn).

（1）如圖1，若，，直接求出的度數(shù)：__________；

（2）如圖2，若，試判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

（3）如圖3，若，求證：.

Answer 1

【答案】（1）25°；（2），證明略；（3）證明略；

【解析】

（1）先根據(jù)三角形的內(nèi)角和得∠ABC=40°，分別根據(jù)角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)得∠G的度數(shù)；

（2）根據(jù)三角形外角的性質(zhì)分別表示∠BCD和∠DFC的度數(shù)，可得∠A和∠G的關(guān)系；

（3）根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線定義可得結(jié)論．

如圖1，

∵∠ACB=90°，∠A=50°，

∴∠ABC=40°，

∵BG平分∠ABC，

∴∠CBG=20°，

∵DE∥BC，

∴∠CDE=∠BCD=90°，

∵DG平分∠ADE，

∴∠CDF=45°，

∴∠CFD=45°，

∵∠CFD=∠FBG+∠G，

∴∠G=45°-20°=25°；

（2）如圖2，∠A=2∠G，

理由是：由（1）知：∠ABC=2∠FBG，∠CDF=∠CFD，

∵BC∥DE，

∴∠BCD=∠CDE，

∵∠BCD=∠A+∠ABC=∠A+2∠FBG，

∴2∠FBG+∠A=2∠CDF，

∴∠A=2（∠CDF-∠FBG），

∵∠CFD=∠FBG+∠G，

∴∠G=∠CFD-∠FBG=∠CDF-∠FBG，

∴∠A=2∠G；

（3）如圖3，

∵EF∥AD，

∴∠DFE=∠CDF，

由（2）得：∠CFD=∠CDF，

∴∠DFE=∠CFD=∠FBG+∠G=∠ABC+∠G．