Question

【題目】如圖，已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形OABC為長(zhǎng)方形，A（10，0），C（0，4），點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P在BC上運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)△ODP是等腰三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求△ODP周長(zhǎng)的最小值．（要有適當(dāng)?shù)膱D形和說明過程）

Answer 1

【答案】P 的坐標(biāo)為：（2.5，4）或(3,4)或（2,4)或（8 ,4)；(2) △ODP周長(zhǎng)=5+

【解析】試題分析：（1）當(dāng)P1O=OD=5或P2O=P2D或P3D=OD=5或P4D=OD=5時(shí)，分別作P2E⊥OA于E，DF⊥BC于F，P4G⊥OA于G，利用勾股定理P1C，OE，P3F，DG的值，就可以求出P的坐標(biāo)；（2）作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接OD′交BC于P，則這時(shí)的△POD的周長(zhǎng)最小，即△POD的周長(zhǎng)=OD′+OD，根據(jù)勾股定理得到OD′的長(zhǎng) ，即可求得△POD的周長(zhǎng)．

試題解析：

（1））當(dāng)P1O=OD=5時(shí)，由勾股定理可以求得P1C=3，

當(dāng)P2O=P2D時(shí)，作P2E⊥OA，∴OE=ED=2.5；

當(dāng)P3D=OD=5時(shí)，作DF⊥BC，由勾股定理，得P3F=3，∴P3C=2；

當(dāng)P4D=OD=5時(shí)，作P4G⊥OA，由勾股定理，得DG=3，∴OG=8．

∴P1（2，4），P2（2.5，4），P3（3，4），P4（8，4）；

(2) 作點(diǎn)D關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接OD′交BC于P，

則這時(shí)的△POD的周長(zhǎng)最小，此時(shí)△POD的周長(zhǎng)=OD′+OD，

∵點(diǎn)D是OA的中點(diǎn)，

∴OD=5，DD′=8，

∴OD′=，

∴△POD的周長(zhǎng)=+5．