【題目】如圖,已知二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A(0,4),與x軸交于點B,C,點C坐標(biāo)為(8,0),連接AB,AC

1)請直接寫出二次函數(shù)的解析式.

2)判斷ABC的形狀,并說明理由.

3)若點Nx軸上運動,當(dāng)以點A,N,C為頂點的三角形是等腰三角形時,請寫出此時點N的坐標(biāo).

【答案】1;(2)直角三角形,證明見解析;(3)(3,0)或(-80)或(,0)或(,0

【解析】

(1)根據(jù)待定系數(shù)法即可求得;
(2)根據(jù)拋物線的解析式求得B的坐標(biāo),然后根據(jù)勾股定理分別求得AB2=20,AC2=80,BC=10然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可證得ABC是直角三角形
(3)分別以A.C兩點為圓心,AC長為半徑畫弧,m軸交于三個點,AC的垂直平分線與c軸交于一個點,即可求得點N的坐標(biāo)

(1)∵二次函數(shù)的圖象與y軸交于點A(0,4),x軸交于點B.C,C坐標(biāo)(8,0),


解得
∴拋物線表達式:

ABC是直角三角形.
y=0,
解得x1=8,x2=-2,
∴點B的坐標(biāo)為(-2,0),
由已知可得,
RtABO
AB2=BO2+AO2=22+42=20,
RtAOC
AC2=AO2+CO2=42+82=80,
又∴BC=OB+OC=2+8=10,
∴在ABC
AB2+AC2=20+80=102=BC2
ABC是直角三角形

(3)A(0,4),C(8,0),
AC==4,
①以A為圓心,AC長為半徑作圓,交軸于N,此時N的坐標(biāo)為(-8,0),
②以C為圓心,AC長為半徑作圓,x軸于N,此時N的坐標(biāo)為(,0)(,0)
③作AC的垂直平分線,g軸于N,此時N的坐標(biāo)為(3,0),
綜上,若點N在軸上運動,當(dāng)以點AN、C為頂點的三角形是等腰三角形時,N的坐標(biāo)分別為(-8,0)、(,0)、(3,0),0)

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