Question

如圖，對(duì)稱軸為直線x=

7

2

的拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4）．（1）求拋物線解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）設(shè)點(diǎn)E（x，y）是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，且位于第四象限，四邊形OEAF是以O(shè)A為對(duì)角線的平行四邊形，求四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）①當(dāng)四邊形OEAF的面積為24時(shí)，請(qǐng)判斷OEAF是否為菱形？
②是否存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（4）在（3）①的條件下，當(dāng)四邊形OEAF為菱形時(shí)，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P在直線OE下方的拋物線上移動(dòng)，則點(diǎn)P到直線OE的最大距離是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,根的判別式,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式,勾股定理,平行四邊形的性質(zhì),菱形的判定,正方形的判定

專題：壓軸題

分析：（1）將拋物線解析式設(shè)成頂點(diǎn)式，然后用待定系數(shù)法就可解決問(wèn)題．
（2）求出拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就可得到x的取值范圍，由于△OAE與△AOF全等，因此S=2S_△OAE=-6y，然后把y換成x的代數(shù)式即可．
（3）①易求出點(diǎn)E的縱坐標(biāo)y，從而求出點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后算出OE、AE的長(zhǎng)，就可判定四邊形OEAF是否為菱形；②可先求出使四邊形OEAF是菱形時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)，然后再驗(yàn)證菱形OEAF是否是正方形．
（4）由條件可確定點(diǎn)E的坐標(biāo)，將直線OE平移到與拋物線相切時(shí)，切點(diǎn)P到直線OE的距離最大，只需先求出平移到與拋物線相切時(shí)直線l的解析式，然后求出兩平行線間的距離，就是點(diǎn)P到直線OE的最大距離．

解答：解：（1）由題可設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-

7

2

）²+k，
∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（6，0）和B（0，4），
∴

a(6- 7 2 )2+k=0 a(0- 7 2 )2+k=4

．
解得；

a= 2 3 k=- 25 6

．
∴拋物線的解析式為y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

，此時(shí)頂點(diǎn)坐標(biāo)為（

7

2

，-

25

6

）．

（2）過(guò)點(diǎn)E作EH⊥OA，垂足為H，如圖1，
由

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

=0得x₁=1，x₂=6．
∵點(diǎn)E（x，y）是拋物線上位于第四象限一動(dòng)點(diǎn)，
∴1＜x＜6，-

25

6

≤y＜0．
∵四邊形OEAF是平行四邊形，
∴△OAE≌△AOF．
∴S=2S_△OAE=2×

1

2

OA•EH=OA•EH
=-6y
=-6×[

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

]
=-4（x-

7

2

）²+25．
∴四邊形OEAF的面積S與x之間的函數(shù)關(guān)系式為S=-4（x-

7

2

）²+25，其中1＜x＜6．

（3）①當(dāng)S=24時(shí)，-4（x-

7

2

）²+25=24，解得x₁=4，x₂=3．
Ⅰ．當(dāng)x=4時(shí)，y=

2

3

×（4-

7

2

）²-

25

6

=-4，則點(diǎn)E（4，-4）．
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖2，
則有OH=4，EH=4，AH=2．
∵EH⊥x軸，
∴OE=4

2

，AE=2

5

．
∴OE≠AE．
∴平行四邊形OEAF不是菱形．
Ⅱ．當(dāng)x=3時(shí)，y=

2

3

×（3-

7

2

）²-

25

6

=-4，則點(diǎn)E（3，-4）．
過(guò)點(diǎn)E作EH⊥x軸，垂足為H，如圖3，
則有OH=3，EH=4，AH=3．
∵EH⊥x軸，
∴OE=5，AE=5．
∴OE=AE．
∴平行四邊形OEAF是菱形．
綜上所述；當(dāng)點(diǎn)E為（4，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF不是菱形；當(dāng)點(diǎn)E為（3，-4）時(shí)，平行四邊形OEAF是菱形．
②不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形．
理由如下：
當(dāng)點(diǎn)E在線段OA的垂直平分線上時(shí)，EO=EA，則平行四邊形OEAF是菱形，如圖4，
此時(shí)，x_E=

0+6

2

=3，y_E=-4，點(diǎn)E為（3，-4）．
則有OA=6，EF=8．
∵OA≠EF，
∴菱形OEAF不是正方形．
∴不存在點(diǎn)E，使四邊形OEAF為正方形．

（4）在（3）①的條件下，當(dāng)四邊形OEAF為菱形時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，-4）．
設(shè)直線OE的解析式為y=mx，則有3m=-4，解得m=-

4

3

．
∴直線OE的解析式為y=-

4

3

x．
設(shè)與直線OE平行且與拋物線y=

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

相切的直線l的解析式為y=-

4

3

x+n，
∴方程

2

3

（x-

7

2

）²-

25

6

=-

4

3

x+n即2x²-10x+12-3n=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根．
∴（-10）²-4×2×（12-3n）=0．
解得：n=-

1

6

．
∴直線l的解析式為y=-

4

3

x-

1

6

．
設(shè)直線l與x軸、y軸分別相交于點(diǎn)M、N，過(guò)點(diǎn)O作OG⊥MN．垂足為G，如圖5，
由-

4

3

x-

1

6

=0得x=-

1

8

，則點(diǎn)M（-

1

8

，0）；由x=0得y=-

1

6

，則點(diǎn)N（0，-

1

6

）．
在Rt△MON中，
∵OM=

1

8

，ON=

1

6

，
∴MN=

OM2+ON2

=

5

24

．
∴OG=

OM•ON

MN

=0.1．
∴直線OA與直線l之間的距離是0.1．
∴點(diǎn)P到直線OE的最大距離是0.1．
故答案為：0.1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、拋物線與x軸的交點(diǎn)、拋物線與直線相切、平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定、正方形的判定、根的判別式、勾股定理、解一元二次方程等知識(shí)，覆蓋面廣，綜合性非常強(qiáng)，對(duì)運(yùn)算能力的要求也比較高，有一定的難度．把點(diǎn)P到直線OE的最大距離轉(zhuǎn)化為平行于直線OE且與拋物線相切的直線l與直線OE之間的距離是解決第四小題的關(guān)鍵．