Question

已知：在△ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，B，C兩點(diǎn)到直線AD的距離相等．

（1）如圖1，若△ABC是等腰三角形，AB=AC，則點(diǎn)D的位置在點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；

（2）如圖2，若△ABC是任意一個(gè)銳角三角形，猜想點(diǎn)D的位置是否發(fā)生變化，請補(bǔ)全圖形并加以證明；

（3）如圖3，當(dāng)△ABC是直角三角形，∠A=90°，并且點(diǎn)D滿足（2）的位置條件，用等式表示線段AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．

Answer 1

【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)．

【分析】（1）點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)，根據(jù)線段的中點(diǎn)即可解答；

（2）點(diǎn)D的位置沒有發(fā)生變化；作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，證明△BED≌△CFD，得到BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)；

（3）AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系為AC²+AB²=4AD²．如圖2，延長AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．證明△ABD≌△HCD，得到∠1=∠3，AB=CH．再證明∠ACH=90°，得到AC²+CH²=AH²．由DH=AD，得到AC²+AB²=（2AD）²．即可解答．

【解答】解：（1）∵點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，

∴BD=CD，

故答案為：點(diǎn)D為線段BC的中點(diǎn)；

（2）點(diǎn)D的位置沒有發(fā)生變化，

證明：如圖1，作BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，

∵BE⊥AD于點(diǎn)E，CF⊥AD于點(diǎn)F，

∴∠3=∠4=90°，

在△BED和△CFD中，

∴△BED≌△CFD．

∴BD=DC．即點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)．

（3）AB，AC，AD之間的數(shù)量關(guān)系為AC²+AB²=4AD²．

證明：如圖2，延長AD到點(diǎn)H使DH=AD，連接HC．

∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，

∴BD=DC．

 在△ABD和△HCD中，

∴△ABD≌△HCD．

∴∠1=∠3，AB=CH．

∵∠A=90°，

∴∠1+∠2=90°．

∴∠2+∠3=90°．

∴∠ACH=90°．

∴AC²+CH²=AH²．

又∵DH=AD，

∴AC²+AB²=（2AD）²．

∴AC²+AB²=4AD²．

【點(diǎn)評】本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、勾股定理的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．