Question

如圖，已知一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象與反比例函數(shù)y=

m

x

的圖象交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A（-1，-3），B（3，n）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；
（2）求△AOB的面積；
（3）若以A，O，B，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)利用上面的結(jié)論求出頂點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）把A的坐標(biāo)代入求出m即可得出反比例函數(shù)的解析式；把B的坐標(biāo)代入求出n，代入求出一次函數(shù)的解析式即可；
（2）求出一次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)C，根據(jù)三角形的面積公式求出△AOC和△BOC的面積即可；
（3）分類(lèi)討論：當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)Q，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，先利用歸納中的結(jié)論由A、B坐標(biāo)確定Q點(diǎn)坐標(biāo)，然后由點(diǎn)O與Q點(diǎn)坐標(biāo)確定P點(diǎn)坐標(biāo)；同理可確定當(dāng)OB和OA為對(duì)角線(xiàn)時(shí)對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）把點(diǎn)A代入反比例函數(shù)y=

m

x

，得m=3，反比例函數(shù)解析式為y=

3

x

，
把B代入y=

3

x

，得n=1，
把A（-1，-3），B（3，1）代入直線(xiàn)AB的解析式y(tǒng)=kx+b，則

-k+b=-3 3k+b=1

，
解得

k=1 b=-2

．
所以直線(xiàn)AB的解析式為y=x-2；
（2）令y=0，可得出x-2=0，得x=2，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），
∴S_△ABC=S_△OAC+S_△OBC=

1

2

×2×3+

1

2

×2×1=3+1=4；
（3）當(dāng)以AB為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形OAPB為平行四邊形，對(duì)角線(xiàn)交與點(diǎn)Q，
∴Q為AB的中點(diǎn)，Q點(diǎn)為PO的中點(diǎn)，
∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為（

-1+3

2

，

-3+1

2

），即Q（1，-1），
設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），則

0+m

2

=1，

0+n

2

=-1，解得m=2，n=-2，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）；
同理可得當(dāng)以O(shè)B為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形OABP為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（4，4）；
當(dāng)以O(shè)A為對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形OPAB為平行四邊形，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（-4，-4），
∴滿(mǎn)足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-2）或（4，4）或（-4，-4）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)、反比例函數(shù)的解析式，以及解一元一次方程，解二元一次方程組，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握．綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解此題的關(guān)鍵．