Question

如圖，以△ABC的AB、AC邊為斜邊向外作Rt△ABD和Rt△ACE，且使∠ABD=∠ACE，M是BC的中點，求證：DM=ME．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質

專題：證明題

分析：如圖，取AB、AC的中點，連接MP、DP，MQ、EQ，易證DP=MQ，MP=EQ和∠MPD=∠MQE，即可證明△DPM≌△MQE，即可解題．

解答：證明：如圖，取AB、AC的中點，連接MP、DP，MQ、EQ，

∵M是BC中點，
∴PM、MQ都是△ABC的中位線，
∴PM∥AC，MQ∥AB，PM=

1

2

AC，MQ=

1

2

AB，
∵△ABD和△ACE都是直角三角形，
∴DP=

1

2

AB，EQ=

1

2

AC，
∴DP=MQ，MP=EQ，
∵∠MPD=∠BPD+∠BPM=2∠BAD+∠BAC=2（90°-∠ABD）+∠BAC，
∠MQE=∠CQE+∠CQM=2∠CAE+∠BAC=2（90°-∠ACE）+∠BAC，
∴∠MPD=∠MQE，
在△DPM和△MQE中，

DP=MQ ∠MPD=∠MQE PM=QE

，
∴△DPM≌△MQE（SAS），
∴DM=ME．

點評：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△DPM≌△MQE是解題的關鍵．