【題目】已知△ABC,△EFG均是邊長為4的等邊三角形,點D是邊BC、EF的中點. (Ⅰ)如圖①,這兩個等邊三角形的高為
(Ⅱ)如圖②,直線AG,F(xiàn)C相交于點M,當△EFG繞點D旋轉時,線段BM長的最小值是

【答案】2 ;2 -2
【解析】解:(Ⅰ)如圖①中,連接AD,
∵△ABC是等邊三角形,BD=CD,
∴AD⊥BC,
在Rt△ABD中,∵AB=4,BD=2,
∴AD= = =2
所以答案是2
(Ⅱ)如圖①中,連接AE、EC、CG.
∵DE=DF=DC,
∴△EFC是直角三角形,
∴∠ECF=90°,
∵∠ADC=∠EDG=90°,
∴∠ADE=∠GDC,
在△ADE和△GDC中,

∴△ADE≌△GDC,
∴AE=CG,∠DAE=∠DGC,
∵DA=DG,
∴∠DAG=∠DGA,
∴∠GAE=∠AGC,
∵AG=GA,
∴△AGE≌△GAC,
∴∠GAK=∠AGK,
∴KA=KG,∵AC=EG,
∴EK=KC,
∴∠KEC=∠KCE,
∵∠AKG=∠EKC,
∴∠KAG=∠KCE,
∴EC∥AG,
∴∠AMF=∠ECF=90°,
∴點M在以AC為直徑的圓上運動,
如圖②中,當點M運動到BM⊥AC時,BM最短,

∵OB=2 ,AO=OM=OC=2,
∴BM的最小值為2 ﹣2.
所以答案是2 ﹣2.
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等邊三角形的性質的相關知識,掌握等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°,以及對旋轉的性質的理解,了解①旋轉后對應的線段長短不變,旋轉角度大小不變;②旋轉后對應的點到旋轉到旋轉中心的距離不變;③旋轉后物體或圖形不變,只是位置變了.

練習冊系列答案
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