Question

【題目】已知拋物線l1：y＝x2+c，當(dāng)其函數(shù)值y＝1時(shí)，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)

（1）求c的值；

（2）將拋物線l1經(jīng)過(guò)平移得到拋物線l2：y＝（x﹣p）2﹣1．

①若拋物線l2與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，記△ABC的外心為P，當(dāng)﹣1≤p≤時(shí)，求點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍；

②當(dāng)0≤x≤2時(shí)，對(duì)于拋物線l1上任意點(diǎn)E，拋物線l2上總存在點(diǎn)F，使得點(diǎn)E、F縱坐標(biāo)相等，求p的取值范圍

Answer 1

【答案】（1）c＝1；（2）①；②和

【解析】

只有一個(gè)x與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值即頂點(diǎn)的值，進(jìn)而求出c．
①用p表示A、B、C的坐標(biāo)，由于外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，故點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上，用p表示BC中點(diǎn)D，即直線PD垂直平分求出直線BC解析式的，利用兩直線垂直時(shí)，，求出直線PD解析式的并求出解析式，把代入即用p表示出P的縱坐標(biāo)．再由計(jì)算點(diǎn)P縱坐標(biāo)的范圍．

②先求出時(shí)，對(duì)于拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值范圍根據(jù)題意，即的每一個(gè)函數(shù)值，都能在拋物線上有對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，故拋物線的函數(shù)值范圍應(yīng)比拋物線的大，即最小值小于等于1，最大值大于等于對(duì)拋物線的對(duì)稱軸進(jìn)行分類討論，不同情況下在時(shí)的最大值最小值取值不相同，每種情況里根據(jù)“最小值小于等于1，最大值大于等于2”列出不等式組，即求出p的范圍．

解：當(dāng)函數(shù)值時(shí)，只有一個(gè)自變量x的值與其對(duì)應(yīng)，
拋物線的頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，
．
①當(dāng)時(shí)，解得：，，
，，
當(dāng)時(shí)，，
，
中點(diǎn)為，
設(shè)直線BC解析式為：，
解得：，
點(diǎn)P為的外心，
點(diǎn)P在拋物線對(duì)稱軸上，直線PD垂直平分BC，
設(shè)直線PD解析式為：，
，即，
把D代入得：，
解得：，
直線PD解析式為：，
當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
點(diǎn)P的縱坐標(biāo)的取值范圍是；
②對(duì)于拋物線：，當(dāng)時(shí)，，
拋物線上總存在點(diǎn)F，使得F縱坐標(biāo)與上任意點(diǎn)E的縱坐標(biāo)相等，
拋物線在時(shí)，y的取值范圍比的大，即最小值值，最大值，
若，則拋物線在時(shí)，y隨x的增大而增大，
時(shí)，最小值；時(shí)，最大值，
，解得：；
若，則時(shí)y最小，時(shí)y最大，
，
解得：或，不成立；
若，則時(shí)y最小，時(shí)y最大，
，
解得：或，不成立；
若，則拋物線在時(shí)，y隨x的增大而減小，
時(shí)y最大，時(shí)y最小，
，解得：；
綜上所述，p的取值范圍為：和.