Question

【題目】在四邊形OABC中，CB∥OA，∠COA=90°，CB=3，OA=6，BA=3．分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．

（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD=5，OE=2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F．求直線DE的解析式；

（3）點(diǎn)M在（2）中直線DE上，四邊形ODMN是菱形，求N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6）；（2）y=﹣x+5；（3）N的坐標(biāo)為（﹣2，）．

【解析】

試題分析：（1）作BH⊥OA于H，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OH的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理求出BH的長(zhǎng)，得到點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）作EG⊥OA于G，得到△OGE∽△OHB，根據(jù)題意和相似三角形的性質(zhì)求出點(diǎn)E、D的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線DE的解析式；

（3）作MP⊥y軸于點(diǎn)P，得到△MPD∽△FOD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)和勾股定理計(jì)算即可．

解：如圖1，作BH⊥OA于H，則四邊形OHBC為矩形，

∴OH=CB=3，

∴AH=OA﹣OH=3，

∴BH==6，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，6）；

（2）如圖1，作EG⊥OA于G，則EG∥BH，

∴△OGE∽△OHB，

∴==，

∵OE=2EB，

∴=，又OH=3，BH=6，

∴OG=2，EG=4，

∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（2，4），

∵OC=BH=6，OD=5，

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，5），

設(shè)直線DE的解析式為y=kx+b，

∴，

解得，，

∴直線DE的解析式為y=﹣x+5；

（3）如圖2，作MP⊥y軸于點(diǎn)P，

∵四邊形ODMN是菱形，

∴DM=MN=NO=OD=5，

∵MP∥OA，

∴△MPD∽△FOD，

∴==，

當(dāng)y=0，即﹣x+5=0時(shí)，x=10，

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（0，10），

∴DF==5，

∴==，

解得，MP=2，PD=，

∴OP=5+，

∴N的坐標(biāo)為（﹣2，）．