Question

【題目】閱讀下列材料：

1637年笛卡爾在其《幾何學(xué)》中，首次應(yīng)用“待定系數(shù)法”將四次方程分解為兩個(gè)二次方程求解，并最早給出因式分解定理．

他認(rèn)為：對(duì)于一個(gè)高于二次的關(guān)于x的多項(xiàng)式，“是該多項(xiàng)式值為0時(shí)的一個(gè)解”與“這個(gè)多項(xiàng)式一定可以分解為（）與另一個(gè)整式的乘積”可互相推導(dǎo)成立．

例如：分解因式．

∵是的一個(gè)解，∴可以分解為與另一個(gè)整式的乘積．

設(shè)

而，則有

，得，從而

運(yùn)用材料提供的方法，解答以下問題：

（1）①運(yùn)用上述方法分解因式時(shí)，猜想出的一個(gè)解為_______（只填寫一個(gè)即可），則可以分解為_______與另一個(gè)整式的乘積；

②分解因式；

（2）若與都是多項(xiàng)式的因式，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①：x=-1；（x+1）；②；（2）3

【解析】

（1）①計(jì)算當(dāng)x=-1時(shí)，方程成立，則必有一個(gè)因式為（x+1）,即可作答；

②根據(jù)待定系數(shù)法原理先設(shè)另一個(gè)多項(xiàng)式，然后根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的計(jì)算即可求得結(jié)論；

（2））設(shè)（其中M為二次整式），由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，然后列方程組求解即可．

解：（1）①，觀察知，顯然x=-1時(shí)，原式=0，則的一個(gè)解為x=-1；原式可分解為（x+1）與另一個(gè)整式的積．

故答案為：x=-1；（x+1）

②設(shè)另一個(gè)因式為（x2+ax+b），

（x+1）（x2+ax+b）=x3+ax2+bx+x2+ax+b

=x3+（a+1）x2+（a+b）x+b

∴a+1=0，a=-1， b=3

∴多項(xiàng)式的另一因式為x2-x+3．

∴．

（2）設(shè)（其中M為二次整式），

由材料可知，x=1，x=-2是方程的解，

∴可得，

∴②-①，得m-n=3

∴的值為3．