Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）與x軸交于A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，連接AC、BC．
（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)是

 

；
（2）求拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）的解析式；
（3）若點(diǎn)P在拋物線上，且點(diǎn)P與△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)所構(gòu)成的三角形面積S=S_△ABC，請(qǐng)求出滿足條件的所有點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征,待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式

專題：

分析：（1）因?yàn)辄c(diǎn)C的橫坐標(biāo)等于零，且點(diǎn)C位于拋物線上，所以令y=0，則求得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)；
（2）將A（1，0）、B（4，0）點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）中，列方程組求a、b的值即可；
（3）所求的P的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C的縱坐標(biāo)的絕對(duì)值相等，所以把相應(yīng)的y值代入函數(shù)解析式來(lái)求x的值．

解答：解：（1）如圖，∵點(diǎn)C在拋物線y=ax²+bx+2（a≠0）上，
∴當(dāng)x=0時(shí)，y=2，
∴C（0，2）；
故答案是：（0，2）；

（2）A（1，0）、B（4，0）兩點(diǎn)代入y=ax²+bx+2，得

a+b+2=0 16a+4b+2=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2

．
則該拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-

5

2

x+2；

（3）情況一：當(dāng)S_△PAB=S_△ABC時(shí)．點(diǎn)P是平行于x軸且到x軸的距離為2的直線與拋物線的交點(diǎn)．如圖1所示．
∵C（0，2），S=S_△ABC，
∴設(shè)P（x，2）或（x，-2）．
①當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，2）時(shí)，2=

1

2

x²-

5

2

x+2
解得 x=0或x=5．
則點(diǎn)P的坐標(biāo)是（0，2）（與點(diǎn)C重合）或（5，2）；
②當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)是（x，-2）時(shí)，-2=

1

2

x²-

5

2

x+2，
∵△＜0，
∴該方程無(wú)解，即不存在這樣的點(diǎn)P．
情況二：當(dāng)S_△PBC=S_△ABC時(shí)．點(diǎn)P是平行于BC且到BC的距離為點(diǎn)A到BC的距離的直線與拋物線的交點(diǎn)．如圖2所示．
易求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（1，0），（3，-1），（2+

7

，

5- 7

2

），（2-

7

，

5+ 7

2

）；
情況三：當(dāng)S_△PAC=S_△ABC時(shí)．點(diǎn)P是平行于AC且到AC的距離為點(diǎn)B到AC的距離的直線與拋物線的交點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B與AC平行的直線解析式為y=-2x+8，與拋物線聯(lián)立方程組可求得兩根分別為4和-3，此時(shí)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（4，0）（-3，14）
此時(shí)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，符合題意．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)是：（0，2）或（5，2）或（1，0），（（3，-1）或（2+

7

，

5- 7

2

）或
（2-

7

，

5+ 7

2

）或（4，0）或（-3，14）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式．解答（3）題時(shí)，要分類討論．