Question

如圖，拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0），C（0，4）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B，
（1）求拋物線的解析式；
（2）求P在第一象限的拋物線上，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，過點(diǎn)P向x軸做垂線交直線BC于點(diǎn)Q，設(shè)線段PQ的長(zhǎng)為m，求m與t之間的函數(shù)關(guān)系式并求出m的最大值；
（3）在（2）的條件下，拋物線上一點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m的最大值，連接BD，在拋物線是否存在點(diǎn)E（不與點(diǎn)A，B，C重合）使得∠DBE=45°？若不存在．請(qǐng)說明理由；若存在請(qǐng)求E點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入拋物線解析式，解關(guān)于b、c的方程組求出b、c的值即可得到拋物線解析式，令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）根據(jù)拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+3x+4，令y=0求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（4.0），設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a
把點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入直線BC的解析式為y=kx+a，解關(guān)于k、a的方程組求出k、a的值，所以直線BC的解析式為y=-x+4，設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t²+3t+4），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+4），所以m=（-t²+3t+4）-（-t+4），整理得m=-（t-2）²+4，根據(jù)關(guān)于m、t的二次函數(shù)即可求得．
（3）根據(jù)m的最大值是4，代入y=-x²+3x+4，可求得D點(diǎn)的坐標(biāo)（3，4），過D點(diǎn)作DH⊥BC，過E點(diǎn)作EF⊥x軸，由OC=OB=4得△DCB為等腰直角三角形，從而得出△CDH為等腰直角三角形，通過等腰直角三角形求得CN、BH的值，然后根據(jù)三角形相似求得EF、BF的關(guān)系，設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)，然后代入y=-x²+3x+4即可求得．

解答：解：（1）拋物線y=-x²+bx+c經(jīng)過A（-1，0）、C（0，4）兩點(diǎn)，
∴

-1-b+c=0 c=4

解得

b=3 c=4

∴拋物線的解析式y(tǒng)=-x²+3x+4

（2）令-x²+3x+4=0，
解得x₁=-1，x₂=4，
∴B（4，0）
設(shè)直線BC的解析式為y=kx+a
∴

4k+a=0 a=4

解得

k=-1 a=4

，
∴直線BC的解析式為y=-x+4
設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t²+3t+4），則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（t，-t+4）
∴m=（-t²+3t+4）-（-t+4）=-（t-2）²+4
整理得m=-（t-2）²+4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，m的最大值為4

（3）存在
∵拋物線一點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為m的最大值4，
∴-x²+3x+4=4，解得x₁=0（舍），x₂=3
∴D（3，4），CD=3
∵C（0，4），
∴CD∥x軸，
∵OC=OB=4，
∴△BOC為直角三角形，
過點(diǎn)D作DH⊥BC于H，過點(diǎn)E作EF⊥x于點(diǎn)F，在△CDB中，CD=3，∠DCB=45°
∴CH=DH=

3 2

2

，
∵CB=4

2

，∴BH=CB-CH=

5 2

2

∵∠DBE=∠CBO=45°
∴∠DBE-∠CBE=∠CBO-∠CBE，
即∠DBC=∠EBF
∴tan∠DBC=

DH

HB

=

EF

BF

=

3

5

設(shè)EF=3a∴BF=5a
∴OF=5a-4
∴F（4-5a，0），E（4-5a，3a）
∵點(diǎn)E在拋物線上
∴3a=-（4-5a）²+3（4-5a）+4
解得a₁=0 a₂=

22

25

∴E（-

2

5

，

66

25

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是對(duì)二次函數(shù)的綜合考查，主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，拋物線與x軸的交點(diǎn)問題，以及三角函數(shù)的問題．