Question

如圖1，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=AC，分別過B、C兩點(diǎn)作過點(diǎn)A的直線l的垂線，垂足為D、E；

（1）如圖1，當(dāng)D、E兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)時(shí)，猜想，BD、CE、DE三條線段有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
（2）如圖2，當(dāng)D、E兩點(diǎn)在直線BC的兩側(cè)時(shí)，BD、CE、DE三條線段的數(shù)量關(guān)系為

 

．
（3）如圖2，若直線AD被截成的線段AE、EM、MD的長(zhǎng)度分別是a，b，c，又S_△ABM=S₁，S_△ACM=S₂，求S₂-S₁的值（用含有a，b，c的代數(shù)式表示）
（4）如圖，∠BAC=90°，AB=22，AC=28．點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)沿B-A-C路徑向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)沿C-A-B路徑向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P和Q分別以每秒2和3個(gè)單位的速度同時(shí)開始運(yùn)動(dòng)，只要有一點(diǎn)到達(dá)相應(yīng)的終點(diǎn)時(shí)兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；在運(yùn)動(dòng)過程中，分別過P和Q作PF⊥l于F，QG⊥l于G．問：點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)，△PFA與△QAG全等？（直接寫出結(jié)果即可）

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）易證∠ABD=∠CAE，即可證明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，即可解題；
（2）易證∠ABD=∠CAE，即可證明△ABD≌△CAE，可得BD=AE，AD=CE，即可解題；
（3）根據(jù)CE=AD，BD=AE，即可求得BD，CE的長(zhǎng)度，可以分別計(jì)算S₂、S₁的值，即可解題；
（4）分兩種情況討論：①點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合，②點(diǎn)P和點(diǎn)Q不重合，此時(shí)AP=AQ，即可解題．

解答：（1）證明：∵∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD+AE，
∴DE=BD+CE；
（2）證明：∵∠DAB+∠ABD=90°，∠DAB+∠CAE=90°，
∴∠ABD=∠CAE，
在△ABD和△CAE中，

∠ADB=∠AEC ∠ABD=∠CAE AB=AC

，
∴△ABD≌△CAE，（AAS）
∴BD=AE，AD=CE，
∵DE=AD-AE，
∴DE=CE-BD；
（3）解：∵CE=AD，BD=AE，
∴BD=a，CE=a+b+c，
∴S₂=S_△AEC+S_△MEC=

1

2

（a+b）（a+b+c），
S₁=S_△ABN-S_△BDM=

1

2

（a+b-c）a，
∴S₂-S₁=

1

2

（ab+ac+b²+bc）；
（4）解：分兩種情況：
①點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)Q共走了50，此時(shí)t=10s，
②點(diǎn)P和點(diǎn)Q不重合，此時(shí)AP=AQ，
則有22-2t=28-3t，
解得：t=6s．
故答案為6s或10s．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，本題中求證△ABD≌△CAE是解題的關(guān)鍵．