Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與軸交于、兩點，與軸交于點，直線經過點，與拋物線交于另一點.已知，.

（1）求拋物線與直線的解析式；

（2）如圖1，若點是軸下方拋物線上一點，過點作于點，過點作軸交拋物線于點，過點作軸于點，為直線上一點，且.點為第四象限內一點，且在直線上方，連接、、.記，.當取得最大值時，求出點的坐標，并求出此時的最小值.

（3）如圖2，將點沿直線方向平移13個長度單位到點，過點作軸，交拋物線于點.動點為軸上一點，連接、，再將沿直線翻折為（點、、、在同一平面內），連接、、，當為等腰三角形時，請直接寫出點的坐標.

Answer 1

【答案】（1）拋物線： 直線： （2） （3）

【解析】

（1）求出點A,B,C的坐標，根據待定系數法即可求出拋物線與直線的解析式；

（2）設點，對稱軸為：，根據相似三角形的判定方法得到與相似，根據相似三角形的性質得到，根據二次函數的性質即可求出取得最大值時，求出點的坐標，并求出此時的最小值.

（3）分三種情況進行討論即可.

（1）令

.

又

把點A、B分別代入中，得

解得：

把點A代入直線中，得

，

拋物線的解析式為：，

直線的解析式為：

（2）設點，對稱軸為：，由題意，當點在對稱軸左側時的值一定小于點在對稱軸右側時的值，所以.

令

作軸交直線與點,則與相似。

所以

當時，.此時，點.

此時點，.

把繞點逆時針旋轉60度，得.

此時

當點、、、共線時，取最小值.

作，則,，

，

的最小值為

（3）