Question

如圖，已知△ABC中，AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC于E，M，N為垂足，若BD=3，DE=4，EC=5，求證：∠B=45°．

Answer 1

考點(diǎn)：勾股定理的逆定理,線段垂直平分線的性質(zhì)

專(zhuān)題：證明題

分析：連結(jié)AD，AE．根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD=3，AE=CE=5，在△ADE中，根據(jù)勾股定理的逆定理可得△ADE是直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．

解答：解：連結(jié)AD，AE．
∵AB的垂直平分線交BC于D，AC的垂直平分線交BC于E，
∴AD=BD=3，AE=CE=5，
在△ADE中，AD²+DE²=9+16=25，AE²=25，
∴AD²+DE²=AE²，
∴△ADE是直角三角形，
∴∠ADB=∠ADE=90°，
∴△ADB是等腰直角三角形，
∴∠B=45°．

點(diǎn)評(píng)：考查了勾股定理的逆定理的應(yīng)用．判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長(zhǎng)，只要利用勾股定理的逆定理加以判斷即可．本題難點(diǎn)是添加輔助線構(gòu)造直角三角形．