Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-2，0），B（8，0）兩點，與y軸交于點C，連接BC，以BC為一邊，作菱形BDEC，使其對角線在坐標軸上，點P是x軸上的一個動點，設點P的坐標為（m，0），過點P作x軸的垂線l交拋物線于點Q．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線向上平移n個單位，使其頂點在菱形BDEC內（不含菱形的邊），求n的取值范圍；
（3）當點P在線段OB上運動時，直線l交BD于點M．試探究m為何值時，四邊形CQMD是平行四邊形，并說明理由．

Answer 1

考點：二次函數綜合題

專題：

分析：（1）根據待定系數法即可求得．
（2）先求得直線BC的解析式和拋物線的頂點坐標G（3，-

25

4

），然后把x=3代入直線BC的解析式即可求得F的坐標，進而求得E的坐標即可求得n的取值．
（3）由菱形的對稱性可知，點D的坐標，根據待定系數法可求直線BD的解析式，根據平行四邊形的性質可得關于m的方程，求得m的值；再根據平行四邊形的判定可得四邊形CQBM的形狀；

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4與x軸交于A（-2，0），B（8，0）兩點，
∴

0=4a-2b-4 0=16a+8b-4

 解得

a= 1 4 b=- 3 2

∴拋物線的解析式為：y=

1

4

x²-

3

2

x-4；

（2）設拋物線的頂點為G，過G點作x軸的垂線交BD于E，交BC于F，
由拋物線的解析式y(tǒng)=

1

4

x²-

3

2

x-4可知C（0，-4）
設直線BC的解析式為y=k₁x+b₁，
∵B（8，0），C（0，-4），則

b1=-4 8k1+b1=0

，
解得k₁=

1

2

，b₁=-4．
故直線BC的解析式為y=

1

2

x-4．
∵y=

1

4

x²-

3

2

x-4=

1

4

（x-3）²-

25

4

，
∴拋物線的頂點G的坐標（3，-

25

4

），
當x=3時，y=

1

2

x-4=-

5

2

，
∴F（3，-

5

2

），
由菱形的對稱性可知，點E的坐標為（3，

5

2

）．
∵GF=-

5

2

-（-

25

4

）=

15

4

，GE=

5

2

-（-

25

4

）=

35

4

，
∴

15

4

＜n＜

35

4

．

（3）∵C（0，-4）
∴由菱形的對稱性可知，點D的坐標為（0，4）．
設直線BD的解析式為y=kx+b，則

b=4 8k+b=0

，
解得k=-

1

2

，b=4．
∴直線BD的解析式為y=-

1

2

x+4．
∵l⊥x軸，
∴點M的坐標為（m，-

1

2

m+4），點Q的坐標為（m，

1

4

m²-

3

2

m-4）．
如圖，當MQ=DC時，四邊形CQMD是平行四邊形，
∴（-

1

2

m+4）-（

1

4

m²-

3

2

m-4）=4-（-4）．
化簡得：m²-4m=0，
解得m₁=0（不合題意舍去），m₂=4．
∴當m=4時，四邊形CQMD是平行四邊形．

點評：本題考查了二次函數綜合性，涉及的知識點有：坐標軸上點的特點，菱形的對稱性，待定系數法求直線的解析式，平行四邊形的判定和性質，方程思想和分類思想的運用，綜合性較強，有一定的難度．