Question

已知：關(guān)于x的函數(shù)y=kx²+k²x-2的圖象與y軸交于點(diǎn)C，
（1）當(dāng)k=-2時(shí)，求圖象與x軸的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）若圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)為A，當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，求k的值．
（3）若k≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),等腰三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）△=b²-4ac=0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)（或者把k=2代入函數(shù)關(guān)系，直接求得拋物線與x軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)）；
（2）根據(jù)△AOC是等腰直角三角形易求點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）．把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過方程來求k的值；
（3）由“k≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下．則k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，故-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．

解答：解 （1）方法一：當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，
∵b²-4ac=4²-4×（-2）×（-2）=0
∴圖象與x軸公共點(diǎn)只有一個(gè)．
方法二：當(dāng)k=-2時(shí)，函數(shù)為y=-2x²+4x-2，
令y=0，則-2x²+4x-2=0，
解得：x₁=x₂=1，
∴圖象與x軸公共點(diǎn)只有一個(gè)；

（2）當(dāng)△AOC是等腰三角形時(shí)，
∵∠AOC=90°，OC=2，
∴可得OA=OC=2
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0）或（-2，0）．
把x=2，y=0代入解析式 得2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-1+

2

，k₁=-1-

2

，
把x=-2，y=0代入解析式 得-2k²+4k-2=0，
解得 k₁=-k₁=1．
∴k的值為-1+

2

或-1-

2

或1；

（3）由“k≥1時(shí)函數(shù)y隨著x的增大而減小”可知，拋物線開口向下，
∴k＜0，且對稱軸在直線x=1的左側(cè)，
∴-

k2

2k

≤1，即-

k

2

≤1．
解不等式組

k＜0 - k 2 ≤1

，
解得-2≤k＜0．

點(diǎn)評：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)，等腰三角形的性質(zhì)．熟悉判別式和二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．