Question

（1）如圖1，在等邊△ABC中，點(diǎn)P是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AP，以AP為邊作等邊△APQ，連結(jié)CQ．求證：∠ABC=∠ACQ．
（2）如圖2，在等腰△ABC中，BA=BC，點(diǎn)P是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AP，以AP為邊作等腰△APQ，使頂角∠APQ=∠ABC．連結(jié)CQ．試探究∠ABC與∠ACQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．
（3）如圖3，在△ABC中，點(diǎn)P是BC上的任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)B、C），連結(jié)AP，以AP為邊作△APQ，使∠APQ=∠B，連結(jié)CQ．若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，則△APQ與△ABC之間必須具備什么關(guān)系？

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，進(jìn)而得到∠BAP=∠CAQ，再利用SAS可證明△BAP≌△CAQ，繼而得出結(jié)論；
（2）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得∴△BAP∽△CAQ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得答案；
（3）根據(jù)兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似，可得∴△BAP∽△CAQ，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，可得答案．

解答：（1）證明：∵△ABC、△APQ是等邊三角形，
∴AB=AC，AP=AQ，∠BAC=∠PAQ=60°，
∴∠BAP=∠CAQ，
在△BAP和△CAQ中，

AB=AC ∠BAP=CAQ AP=AQ

，
∴△BAP≌△CAQ（SAS），
∴∠ABC=∠ACQ；

（2）解：結(jié)論∠ABC=∠ACQ仍成立．
理由如下：
∵AB=BC，PA=PQ，頂角∠ABC=∠APQ，
∴∠BAC=∠PAQ，
△ABC∽△APQ，
∴

AB

AP

=

AC

AQ

．
∠BAP=∠BAC-∠PAC，∠CAQ=∠PAQ-∠PAC
∴∠BAP=∠CAQ

AB

AC

=

AP

AQ

，
∴△BAP∽△CAQ，
∠ABC=∠ACQ；

（3）若要使∠ACQ=∠ABC一定成立，則△APQ與△ABC之間必須具備BA=BC，頂角∠APQ=∠ABC，PA=PQ．
證明：∵AB=AC，PA=PQ，頂角∠ABC=∠APQ，
∴∠BAC=∠PAQ，
△ABC∽△APQ，
∴

AB

AP

=

AC

AQ

．
∠BAP=∠BAC-∠PAC，∠CAQ=∠PAQ-∠PAC
∴∠BAP=∠CAQ

AB

AC

=

AP

AQ

，
∴△BAP∽△CAQ，
∠ABC=∠ACQ．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，找到全等的條件，相似的條件，利用全等的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)證明結(jié)論．