Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，2）．
（1）如圖（1），在△ABO為等腰直角三角形，求B點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）如圖（1），在（1）的條件下，分別以AB和OB為邊作等邊△ABC和等邊△OBD，連結(jié)OC，求∠COB的度數(shù)．
（3）如圖（2），過點(diǎn)A作AM⊥y軸于點(diǎn)M，點(diǎn)E為x軸正半軸上一點(diǎn)，K為ME延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以MK為直角邊作等腰直角三角形MKJ，∠MKJ=90°，過點(diǎn)A作AN⊥x軸交MJ于點(diǎn)N，連結(jié)EN．則①

AN+OE

NE

的值不變；②

AN-OE

NE

的值不變，其中有且只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷出正確的結(jié)論，并加以證明和求出其值．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),坐標(biāo)與圖形性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）作AE⊥OB于點(diǎn)E，由點(diǎn)A的坐標(biāo)就可以求出OE的值，就可以求出OB的值而得出結(jié)論．
（2）由等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)就可以得出∠CAO的值，再由等腰三角形的性質(zhì)就可以求出∠AOC的值，從而得出結(jié)論；
（3）在AN上取一點(diǎn)P，使AP=OE，證明△APM≌△OEM，就可以得出MP=ME，∠AMP=∠OME，由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出∠PMN=∠EMN，得出△PMN≌△EMN就可以得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖1，作AE⊥OB于點(diǎn)E，
∴∠AEO=90°．
∵A（-2，2）．
∴OE=AE=2．
∵AB=AO，
∴BO=2EO=4．
∴B（-4，0）；
（2）∵△ABO為等腰直角三角形，
∴AB=AO，∠BAO=90°，∠AOB=45°．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠BAC=60°，AC=AB，
∴∠CAO=150°，AC=AO，
∴∠ACO=∠AOC=15°，
∴∠COB=45°-15°=30°；
（3）

AN-OE

NE

的值不變
理由：如圖2，在AN上取一點(diǎn)P，使AP=OE，
∵AM⊥y軸，AN⊥x軸，
∴∠AQO=∠AMO=90°．
∵∠MOQ=90°，
∴四邊形AMOQ是矩形．
∵A（-2，2），
∴AQ=OQ=2，
∴四邊形AMOQ是正方形，
∴∠A=∠MOE=∠AMO=90°，AM=OM．
在△APM和△OEM中，

AM=OM ∠A=∠MOE AP=OE

，
∴△APM≌△OEM（SAS），
∴MP=ME，∠AMP=∠OME．
∵∠AMP+∠PMO=90°，
∴∠OME+∠PMO=90°，
即∠PME=90°．
∵△MKJ等腰直角三角形，
∴∠JMK=45°，
∴∠PMN=45°，
∴∠PMN=∠EMN．
在△PMN和△EMN中，

MP=ME ∠PMN=∠EMN MN=MN

，
∴△PMN≌△EMN（SAS），
∴PN=EN．
∵PN=AN-AP，
∴PN=AN-0E，
∴AN-OE=EN．
∴

AN-OE

NE

=1

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，正方形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等邊三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，解答時(shí)靈活運(yùn)用等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)是關(guān)鍵．