Question

【題目】（知識回顧）

我們把連結(jié)三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線，并且有：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半．

（定理證明）

將下列的定理證明補充完整：

已知：如圖①，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC中點，連結(jié)DE．

求證：

證明：

（定理應用）

如圖②，在△ABC中，AB＝10，∠ABC＝60°，點P、Q分別是邊AC、BC的中點，連結(jié)PQ．

（1）線段PQ的長為　 　．

（2）以點C為一個端點作線段CD（CD與AB不平行），連結(jié)AD，取AD的中點M，連結(jié)PM、QM．

①在圖②中補全圖形．

②當∠PQM＝∠PMQ時，求CD的長．

③在②的條件下，當△PQM面積最大時，直接寫出∠BCD的度數(shù)．

Answer 1

【答案】【定理證明】見解析；【定理應用】（1）5；（2）①補全圖形②如圖所示，見解析；②CD＝10；③當△PQM面積最大時，∠BCD的度數(shù)為30°或150°．

【解析】

定理證明:根據(jù)題意寫出求證，根據(jù)相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理證明結(jié)論；

定理應用:（1）根據(jù)三角形中位線定理解答；

（2）①根據(jù)題意補全圖形；

②根據(jù)三角形中位線定理得到CD＝AB；

③分圖③和圖④兩種情況解答．

已知：如圖①，在△ABC中，點D、E分別是邊AB、AC中點，連結(jié)DE．

求證：DE∥BC，DE＝BC

證明：∵D、E分別是AB、DC中點，

∴＝＝，又∠A＝∠A，

∴△ADE∽△ABC，

∴∠ADE＝∠B，＝＝，

∴DE∥BC，DE＝BC；

定理應用:

（1）∵點P、Q分別是邊AC、BC的中點，

∴PQ＝AB＝5，

故答案為：5；

（2）①補全圖形②如圖所示：

②∵∠PQM＝∠PMQ，

∴PM＝PQ，

∵點P、Q、M分別是AC、BC、AD中點，

∴AB＝2PQ，CD＝2MP，

∴CD＝AB＝10；

③由三角形的面積公式可知，當PM⊥PQ時，△PQM面積最大，

如圖③，∠BCD＝90°﹣∠B＝90°﹣60°＝30°，

如圖④，∠BCD＝1800°﹣30°＝150°，

綜上所述，當△PQM面積最大時，∠BCD的度數(shù)為30°或150°．