Question

【題目】如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是邊AB的中點(diǎn)，P是邊AC上一動(dòng)點(diǎn)，BP與CD相交于點(diǎn)E．

（1）如果BC＝6，AC＝8，且P為AC的中點(diǎn)，求線段BE的長；

（2）聯(lián)結(jié)PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cosA的值；

（3）聯(lián)結(jié)PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求線段PD的長．

Answer 1

【答案】（1）（2）(3) .

【解析】

（1）由勾股定理求出BP的長， D是邊AB的中點(diǎn)，P為AC的中點(diǎn)，所以點(diǎn)E是△ABC的重心,然后求得BE的長.

（2）過點(diǎn)B作BF∥CA交CD的延長線于點(diǎn)F,所以，然后可求得EF=8，所以，所以，因?yàn)?/span>PD⊥AB，D是邊AB的中點(diǎn)，在△ABC中可求得cosA的值.

（3）由，∠PBD=∠ABP，證得△PBD∽△ABP，再證明△DPE∽△DCP得到，PD可求.

解：（1）∵P為AC的中點(diǎn)，AC=8，

∴CP=4,

∵∠ACB=90°，BC=6，

∴BP=,

∵D是邊AB的中點(diǎn)，P為AC的中點(diǎn)，

∴點(diǎn)E是△ABC的重心,

∴,

（2）過點(diǎn)B作BF∥CA交CD的延長線于點(diǎn)F,

∴,

∵BD=DA，

∴FD=DC，BF=AC,

∵CE=2，ED=3，則CD=5，

∴EF=8,

∴,

∴，

∴，設(shè)CP=k，則PA=3k，

∵PD⊥AB，D是邊AB的中點(diǎn)，

∴PA=PB=3k,

∴，

∴，

∵，

∴,

（3）∵∠ACB=90°，D是邊AB的中點(diǎn)，

∴,

∵，

∴,

∵∠PBD=∠ABP，

∴△PBD∽△ABP,

∴∠BPD=∠A,

∵∠A=∠DCA，

∴∠DPE=∠DCP，

∵∠PDE=∠CDP，

△DPE∽△DCP，

∴,

∵DE=3,DC=5，

∴.