Question

如圖1，直角三角形ABC中，∠ABC=90°，E是邊BC上一點(diǎn)，EM⊥AE，EM交邊AC于點(diǎn)M，BG⊥AC，垂足為G，BG交AE于點(diǎn)H．
（1）求證：△ABH∽△ECM；
（2）如圖2，其它條件不變的情況下，作CF垂直BC于點(diǎn)C，并與EM延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，若E是BC中點(diǎn)，BC=2AB，試判四邊形ABCF的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）在（2）的條件下，若AB=2，求AH的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)已知得出∠BAH=∠CEM，進(jìn)而得出∠ABH=∠ECM，即可得出答案；
（2）首先得出AB=BE=CE，進(jìn)而得出△ABE≌△ECF，即可得出CF=BE=AB，利用AB∥CF且 CF=AB得出四邊形ABCF的形狀；
（3）首先根據(jù)AF∥EC，得出

EM

MF

=

EC

AF

=

1

2

，進(jìn)而得出EM=

1

3

EF，利用△ABH～△ECM，且AB=EC，即可得出△ABH≌△ECM，即可得出答案．

解答：（1）證明：∵∠AEM=90°，
∴∠CEM+∠AEB=90°，∠BAH+∠AEB=90°，
∴∠BAH=∠CEM，
又∵∠BAH+∠CBG=90°，
∠ECM+∠CBG=90°，
∴∠ABH=∠ECM，
∴△ABH～△ECM；

（2）四邊形ABCF為矩形，
理由：
∵E為BC中點(diǎn)，BC=2AB，
∴AB=BE=CE，
又∵∠ABE=∠ECF，∠BAE=∠CEF，
在△ABE和△ECF中，

∠ABE=∠ECF AB=CE ∠BAE=∠CEF

，
∴△ABE≌△ECF（ASA），
∴CF=BE=AB
∴AB∥CF且 CF=AB
∴四邊形ABCF為平行四邊形且∠ABC=90°
∴四邊形ABCF為矩形；

（3）解：∵AF∥EC，
∴

EM

MF

=

EC

AF

=

1

2

，
∵AB=FC=2，∴AF=BC=4，EC=2，
∴EF=2

2

，
則EM=

1

3

EF=

2 2

3

，
∵△ABH～△ECM，
且AB=EC，
∴△ABH≌△ECM，
∴AH=EM=

2 2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)已知得出EM=

1

3

EF是解題關(guān)鍵．