Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，∠OBC=60°．

（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從B、A兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以1個(gè)單位/秒的速度沿OA向點(diǎn)終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以2個(gè)單位/秒的速度沿折線ADC勻速運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)Q作QE⊥OA，垂足為E，設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，△PEQ的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式（要求寫出自變量的取值范圍）；
（3）在（2）的條件下，是否存在t的值，使得以P、Q、B、D四點(diǎn)連成四邊形是等腰梯形？若存在請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)OB=x，先由△OBC是含30°角的直角三角形，得出BC=2x，OC=

3

x，再根據(jù)四邊形ABCD是菱形，得出AB=BC，即6-x=2x，求出x的值，計(jì)算出CD，OC的長(zhǎng)，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；  
（2）由于點(diǎn)P到達(dá)AB中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Q到達(dá)D點(diǎn)，所以分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)或中點(diǎn)的左邊，點(diǎn)Q在AD上，先解Rt△AQE，用含t的代數(shù)式分別表示QE，PE，再根據(jù)S=

1

2

QE•PE，即可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的右邊，點(diǎn)Q在DC上．用含t的代數(shù)式表示出PE=3t-6，再將QE=OC=2

3

代入S=

1

2

QE•PE，即可求出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AD上，由于BP與DQ相交即不平行，則當(dāng)PQ∥BD時(shí)，以P、Q、B、D四點(diǎn)連成的四邊形是等腰梯形．由PQ∥BD，可得AP=AQ，即4-t=2t，解得t=

4

3

；②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，由于BP∥DQ，則當(dāng)BQ=PD時(shí)，以P、Q、B、D四點(diǎn)連成的四邊形是等腰梯形．作梯形BPDQ的高DM，QN，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得出BN=PM，BP-DQ=2PM，即t-（2t-4）=2（t-2），解得t=

8

3

．

解答：解：（1）設(shè)OB=x．
在Rt△OBC中，∵∠BOC=90°，∠OBC=60°，
∴∠OCB=30°，
∴BC=2OB=2x，OC=

3

OB=

3

x．
∵四邊形ABCD是菱形，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（6，0），
∴AB=BC，即6-x=2x，
解得x=2，
∴CD=BC=4，OC=2

3

，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（4，2

3

）；  

（2）分兩種情況：
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)或中點(diǎn)的左邊，點(diǎn)Q在AD上，如圖1．
在Rt△AQE中，∵∠AEQ=90°，∠EAQ=∠OBC=60°，AQ=2t，
∴AE=

1

2

AQ=t，QE=

3

AE=

3

t．
∵BP=t，AB=4，
∴PE=AB-BP-AE=4-2t，
∴S=

1

2

QE•PE=

1

2

×

3

t（4-2t）=-

3

t²+2

3

t；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在AB中點(diǎn)的右邊，點(diǎn)Q在DC上，如圖2．
∵OP=OB+BP=2+t，CQ=OE=8-2t，
∴PE=OP-OE=（2+t）-（8-2t）=3t-6，
∴S=

1

2

QE•PE=

1

2

×2

3

（3t-6）=3

3

t-6

3

．
綜上可知，S=

- 3 t2+2 3 t(0＜t≤2) 3 3 t-6 3 (2＜t≤4)

；

（3）分兩種情況：
①當(dāng)0＜t≤2時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在AD上，如圖3．
∵BP與DQ不平行，
∴當(dāng)PQ∥BD時(shí)，BP=DQ，以P、Q、B、D四點(diǎn)連成的四邊形是等腰梯形．
由PQ∥BD，可得△APQ∽△ABD，
∵△ABD是等邊三角形，
∴△APQ為等邊三角形，
∴AP=AQ，即4-t=2t，
解得t=

4

3

；
②當(dāng)2＜t≤4時(shí)，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在DC上，如圖4．
∵BP∥DQ，
∴當(dāng)BQ=PD時(shí)，以P、Q、B、D四點(diǎn)連成的四邊形是等腰梯形．
作等腰梯形BPDQ的高DM，QN，則BN=PM，
∴BP-DQ=2PM，
∵BP=t，DQ=2t-4，PM=OP-OM=2+t-4=t-2，
∴t-（2t-4）=2（t-2），
解得t=

8

3

．
故存在t的值，使得以P、Q、B、D四點(diǎn)連成的四邊形是等腰梯形，此時(shí)t=

4

3

或t=

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了菱形的性質(zhì)，解直角三角形，三角形的面積，等腰梯形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度適中．運(yùn)用數(shù)形結(jié)合及分類討論思想是解題的關(guān)鍵．