Question

如圖①．點C、B、E、F在直線l上，線段AB與DE重合．將等腰直角三角形ABC以1cm/s的速度沿直線l向正方形DEFG平移，當C、F重合時停止運動．已知△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積y（cm²）與運動時間x（s）的函數(shù)圖象如圖②所示．請根據(jù)圖中信息解決下列問題：
（1）填空：m=

 

s；n=

 

cm²；
（2）分別寫出0≤x≤4和4＜x≤m時，y與x的函數(shù)關系式；
（3）x為何值時，重疊部分的面積為3.5cm²？

Answer 1

考點：相似形綜合題

專題：

分析：（1）根據(jù)題意可知，等腰直角三角形ABC沿直線l向正方形DEFG平移時，△ABC與正方形DEFG重疊部分的面積y的值先由小變大；到C與E重合時，y達到最大值，由圖2知此時x=4s，則CB=AB=4，根據(jù)三角形的面積公式求出n的值；然后y由大變小，到C與F重合時，面積達到最小值0，由EF=CB=4可知此時t=8s，即m=8s；
（2）當0≤x≤4時，設DE與AC交于點H，△ABC與正方形DEFG重疊部分為直角梯形ABEH，用含x的代數(shù)式分別表示BH、BE，根據(jù)梯形的面積公式即可求解；
當4＜x≤8時，設GF與AC交于點I，△ABC與正方形DEFG重疊部分為△CFI，用含x的代數(shù)式分別表示FI、CF，根據(jù)三角形的面積公式即可求解；
（3）根據(jù)（2）中所求的函數(shù)解析式，當0≤x≤4和4＜x≤8時，分別令y=3.5，得到關于x的方程，解方程即可．

解答：解：（1）由題意可知，當點C與點E重合時，y有最大值，由圖2知此時x=4s，
∵等腰直角三角形ABC運動速度為1cm/s，
∴CB=AB=1×4=4，
∴S_△ABC=

1

2

×4×4=8，即n=8cm²；
∵點C與點F重合時，面積達到最小值0，
又EF=CB=4，
∴t=8s，即m=8s．
故答案為8，8；

（2）當0≤x≤4時，如圖，設DE與AC交于點H．
∵BE=x，
∴EH=CE=BC-BE=4-x，
∴y=S_梯形ABEH=

1

2

（EH+AB）•BE=

1

2

（4-x+4）x=-

1

2

x²+4x，
即y=-

1

2

x²+4x；
當4＜x≤8時，如圖，設GF與AC交于點I．
∵BE=x，BC=4，
∴CE=BE-BC=x-4，
∴FI=CF=EF-EC=4-（x-4）=8-x，
∴y=S_△CFI=

1

2

CF²=

1

2

（8-x）²=

1

2

x²-8x+32，
即y=

1

2

x²-8x+32；
綜上所述，y=

- 1 2 x2+4x (0≤x≤4) 1 2 x2-8x+32 (4＜x≤8)

；

（3）當0≤x≤4時，令-

1

2

x²+4x=3.5，
整理，得x²-8x+7=0，
解得x₁=1，x₂=7（不合題意，舍去）；
當4＜x≤8時，令

1

2

x²-8x+32=3.5，
整理，得x²-16x+57=0，
解得x₁=8-

7

，x₂=8+

7

（不合題意，舍去）．
綜上所述，當x為1s或（8-

7

）s時，重疊部分面積為3.5cm²．

點評：本題主要考查了動點問題中如何求圖形的面積，等腰直角三角形與正方形的性質，難度適中．解題的關鍵是正確理解題意，然后根據(jù)題意列出函數(shù)關系式，利用數(shù)形結合及分類討論的思想解決問題．