Question

【題目】如圖①，在中，，cm，動(dòng)點(diǎn)以2cm/s的速度在的邊上沿的方向勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)在的邊上沿的方向勻速運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，5s后，點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，點(diǎn)立即停止運(yùn)動(dòng)(此時(shí)點(diǎn)尚未到達(dá)點(diǎn)).設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為(s)，的面積為(cm2)，與的函數(shù)圖像如圖②所示.

(1)圖①中 cm，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為 cm/s;

(2)求函數(shù)的最大值;

(3)當(dāng)為何值時(shí)，以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似?請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）AC=8cm,點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為5÷5=1cm/s;

（2）當(dāng)t=4時(shí),函數(shù)的最大值S=

（3） t=或t=

【解析】

（1）由勾股定理求得AC的長，再利用的面積為9,得,即可解題；（2）過點(diǎn)P作PH⊥AC于H,證明△AHP∽△ACB得,求出邊長表示S△APQ==,整理成頂點(diǎn)式即可解題；（3）分兩種情況討論當(dāng)∠PQA=90°時(shí),當(dāng)∠QPA=90°時(shí),見詳解.

解：（1）∵動(dòng)點(diǎn)以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)了5秒到B點(diǎn), 如下圖,

∴AB=10cm,

∵，cm，

∴AC=8cm（勾股定理）

由圖2可知當(dāng)時(shí)間為5秒時(shí),的面積為9,

即,

∵BC=CP=6,

∴AQ=3,CQ=8-3=5,

∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的速度為5÷5=1cm/s;

（2）如下圖,過點(diǎn)P作PH⊥AC于H,

易證△AHP∽△ACB,

∴,

∴,解得：PH=

∵CQ=t,

∴AQ=8-t,

∴S△APQ===

∴當(dāng)t=4時(shí),函數(shù)的最大值S=

（3）分兩種情況,當(dāng)∠PQA=90°時(shí),如下圖,

△AQP∽△ACB,

∴,,解得：t=；

當(dāng)∠QPA=90°時(shí),如下圖,

△AQP∽△ABC,

∴,,解得：t=；

綜上, t=或t=時(shí)以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似.