【題目】某班甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行了一次用正方形紙片折疊探究相關(guān)數(shù)學(xué)問題的課題學(xué)習(xí)活動(dòng).

活動(dòng)情境:

如圖2,將邊長為8cm的正方形紙片ABCD沿EG折疊(折痕EG分別與ABDC交于點(diǎn)EG),使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) F處,FNDC交于點(diǎn)M處,連接BFEG交于點(diǎn)P

所得結(jié)論:

當(dāng)點(diǎn)FAD的中點(diǎn)重合時(shí):(如圖1)甲、乙、丙三位同學(xué)各得到如下一個(gè)正確結(jié)論(或結(jié)果):

甲:△AEF的邊AE=____cm,EF=____cm;

乙:△FDM的周長為16 cm

丙:EG=BF.

你的任務(wù):

1】填充甲同學(xué)所得結(jié)果中的數(shù)據(jù);

2】寫出在乙同學(xué)所得結(jié)果的求解過程;

3】當(dāng)點(diǎn)FAD邊上除點(diǎn)A、D外的任何一處(如圖2)時(shí):

試問乙同學(xué)的結(jié)果是否發(fā)生變化?請(qǐng)證明你的結(jié)論;

丙同學(xué)的結(jié)論還成立嗎?若不成立,請(qǐng)說明理由,若你認(rèn)為成立,先證明EG=BF,再求出SS為四邊形AEGD的面積)與xAF=x)的函數(shù)關(guān)系式,并問當(dāng)x為何值時(shí),S最大?最大值是多少?

【答案】

1
設(shè),則


2如圖1,

又∵


又∵
,

,,
的周長

3 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化

理由:如答圖2,設(shè) ,,∴AE=4-,

同上述方法可得

,=16.

丙同學(xué)的結(jié)論還成立

證明:如答圖2,B、F關(guān)于GE對(duì)稱,

P,過GK,

在正方形ABCD中,

由上述可知

=4-+x

S=×8=0.5×8(AE+AK)=4×(4-+4-+x)=,

S =

當(dāng)x=4,FAD的中點(diǎn)重合時(shí),取得最大值,最大值是40.

【解析】(1)根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可設(shè),則 利用勾股定理即可求出AE的長,進(jìn)而求出EF的長;
(2)根據(jù)圖形翻折變換的性質(zhì)可得到由相似三角形的判定定理可得出再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可得出各邊的長,進(jìn)而求出其周長;
(3)①設(shè)利用勾股定理可得出 同理可知 再由相似三角形的性質(zhì)可得出的周長,由正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定定理可知進(jìn)而可得出四邊形的面積,由其面積表達(dá)式即可求出其面積的最大值.

(1)
設(shè),則



(2)如圖1,

又∵

,
又∵

,,,
的周長

(3) 乙的結(jié)果不會(huì)發(fā)生變化

理由:如答圖2,設(shè)

,

AE=4-

同上述方法可得

,=16.

丙同學(xué)的結(jié)論還成立

證明:如答圖2,B、F關(guān)于GE對(duì)稱,

P,過GK,

在正方形ABCD中,

由上述可知

=4-+x,

S=×8=0.5×8(AE+AK)=4×(4-+4-+x)=,

S =

當(dāng)x=4,FAD的中點(diǎn)重合時(shí),取得最大值,最大值是40.

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