Question

如圖，拋物線y=-x²+3x+4的圖象交x軸于A，B，交y軸于C，點P是拋物線的一點，若以△ACP是以AC為直角邊的直角三角形，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：

分析：求出A、C坐標(biāo)，從而可求出AC的解析式，再根據(jù)互相垂直的兩直線比例系數(shù)之積為-1，求出PC的解析式，與拋物線組成方程組即可求出點P的坐標(biāo)．

解答：解：當(dāng)y=0時，-x²+3x+4=0，解得x₁=-1，x₂=4．
A點坐標(biāo)為A（4，0），
C（0，4）．
設(shè)AC解析式為y=kx+b，
把A（4，0），C（0，4）分別代入解析式得

4k+b=0 b=4

，
解得

k=-1 b=4

，
故解析式為y=-x+4．
（1）當(dāng)CP₁⊥AC時，設(shè)CP₁解析式為y=x+n，
把（0，4）代入得n=4，
解析式為y=x+4，
與拋物線y=-x²+3x+4組成方程組得

y=x+4 y=-x2+3x+4

，
解得

x1=0 y1=4

，

x2=2 y2=6

．
P₁坐標(biāo)為（2，6）．
（2）當(dāng)AP₂⊥AC時，設(shè)AP₂解析式為y=x+m，
把（4，0）代入得m=-4，
解析式為y=x-4，
與拋物線y=-x²+3x+4組成方程組得

y=x-4 y=-x2+3x+4

，
解得

x3=-2 y3=-6

，

x4=4 y4=0

．
P₂坐標(biāo)為（-2，-6）．

點評：本題考查了拋物線與x軸的交點，知道以下兩點是解題的關(guān)鍵：①互相垂直的兩直線比例系數(shù)之積為-1；②方程組的解是交點坐標(biāo)．