Question

在△ABC中，以△ABC兩側作等邊△ABD和等邊△ACF，取AD和AF的中點M，N，再取BC的中點H，連接MN，MH，NH．推斷并證明△MNH是什么三角形？

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質,等邊三角形的性質,三角形中位線定理

專題：計算題

分析：△MNH是等邊三角形，理由為：取AC的中點G，連接NG，HG，由三角形ABD與三角形ACF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質得到AD=AB，AF=CF，且內角為60°，根據(jù)G、H分別為AC、BC的中點，即GH為三角形ABC的中位線，利用中位線定理得到GH平行于AB，且HG等于AB的一半，即等于AD的一半，而AM等于AD的一半，等量代換得到AM=HG，同理得到AN=HG，利用平行線的性質及周角定義得到夾角相等，利用SAS得到三角形AMN與三角形GHN全等，利用全等三角形的對應邊相等得到NM=HN，再利用等式的性質得到∠MNH為60°，即可得證．

解答：解：△MNH是等邊三角形，理由為：
證明：取AC的中點G，連接NG，HG，
∵△ABD和△ACF都為等邊三角形，
∴AD=AB，AF=CF，∠BAD=∠CAF=∠ACF=∠F=60°，
∵H為BC的中點，G為AC中點，
∴GH∥AB，GH=

1

2

AB=

1

2

AD=AM，
∴∠BAC=180°-∠HGA，
∴∠DAF=360°-∠BAD-∠CAF-∠BAC=360°-60°-60°-（180°-∠HGA）=60°+∠HGA，
∵N為AF的中點，G為AC的中點，
∴GN∥CF，GN=

1

2

CF=

1

2

AF=AN，
∴∠AGN=∠ACF=60°，∠ANG=∠F=60°，
∴∠HGN=∠HGA+∠AGN=∠HGA+60°，
∴∠DAF=∠HGN，
在△MAN和△HGN中，

AM=GH ∠MAN=HGN AN=GN

，
∴△MAN≌△HGN（SAS），
∴MN=HN，∠ANM=∠GNH，
∴∠MNH=∠ANM+∠ANH=∠GNH+∠ANH=∠ANG=60°，
∴△MNH為等邊三角形．

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，以及三角形中位線定理，熟練掌握全等三角形的判定與性質是解本題的關鍵．