Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分線AD交BC邊于D．
（1）以AB邊上一點(diǎn)O為圓心，AD為弦作⊙O（要求用尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）判斷直線BC與⊙O的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；
（3）若（1）中的⊙O的半徑為2，⊙O與AB邊的另一個(gè)交點(diǎn)為E，BD=2

3

，求線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積．（結(jié)果保留根號(hào)和π）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題,平行線的判定與性質(zhì),切線的判定,扇形面積的計(jì)算,特殊角的三角函數(shù)值

專題：綜合題

分析：（1）作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，如圖1，⊙O即為所求作．
（2）連接OD，如圖2．由OA=OD，AD平分∠CAB可證到∠ODA=∠CAD，從而有OD∥AC，進(jìn)而可以證到OD⊥BC，即可得到直線BC與⊙O相切．
（3）連接OD，如圖3．在Rt△ODB中運(yùn)用三角函數(shù)可求出∠DOB的度數(shù)，就可求出扇形ODE的面積，就可求出所求圖形面積．

解答：解：（1）作線段AD的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作⊙O，如圖1，

⊙O即為所求作．

（2）直線BC與⊙O相切．
證明：連接OD，如圖2．

∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠CAD．
∴∠ODA=∠CAD．
∴OD∥AC．
∴∠ODB=∠ACB．
∵∠ACB=90°，
∴∠ODB=90°，即OD⊥BC．
∴直線BC與⊙O相切．

（3）連接OD，如圖3，

則OD⊥BC（已證），陰影部分的面積就是所求圖形的面積．
在Rt△ODB中，
∵OD=2，BD=2

3

，
∴tan∠DOB=

BD

OD

=

2 3

2

=

3

．
∴∠DOB=60°．
∴S_扇形ODE=

60×π×22

360

=

2π

3

．
∵S_△ODB=

1

2

OD•DB=

1

2

×2×2

3

=2

3

，
∴S_陰影=S_△ODB=-S_扇形ODE=2

3

-

2π

3

．
∴線段BD、BE與劣弧DE所圍成的圖形面積為2

3

-

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了線段垂直平分線的作法、切線的判定、平行線的判定與性質(zhì)、扇形的面積公式、特殊角的三角函數(shù)值、等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的定義等知識(shí)，有操作、有計(jì)算、有證明，具有一定的綜合性，是一道好題．