Question

【題目】已知∠BAE與∠BCD互為補角，AB＝AE，CB＝CD，連接ED，點P為ED的中點．

（1）如圖1，若點A，B，C三點在同一條直線上．

①求證：∠EBD＝90°；②求證：AP∥BD；

（2）如圖2，若點A，B，C三點不在同一條直線上，求證：AP⊥CP．

Answer 1

【答案】（1）①見解析；②見解析；（2）見解析.

【解析】

（1）①設∠EAB=x，∠BCD=y，由∠BAE與∠BCD互為補角，得出x+y=180°，AE∥CD，由AE=AB，得出∠ABE=90°-x，由CB=CD，得出∠CBD=90°-y，即可得出結論；
②延長AP交CD延長線于點K，由AE∥CD，得出∠EAP=∠DKP，由AAS證得△AEP≌△KDP，得出DK=AE=AB，證得CA=CK，得出∠CAP=90°-y=∠CBD，即可得出結論；
（2）設∠EAB=x，∠BCD=y，延長AP到K，使PK=AP，連接KD，由SAS證得△AEP≌△KDP，得出KD=AE，∠EAP=∠DKP，AE∥KD，延長AB交KD于點T，延長KD交BC延長線于點H，則∠ATK=180°-∠EAB=180°-x=y，證得∠ATK=∠BCD=y，∠DCH=∠BTH，得出∠TBC=∠CDH，∠ABC=∠KDC，連接AC、KC，由SAS證得△ABC≌△KDC（SAS），得出CA=CK，即可得出結論．

（1）①設∠EAB＝x，∠BCD＝y，

∵∠BAE與∠BCD互為補角，

∴x+y＝180°，AE∥CD，

∵AE＝AB，

∴∠ABE＝90°﹣x，

∵CB＝CD，

∴∠CBD＝90°﹣y，

∴∠EBD＝180°﹣∠ABE﹣∠CBD＝180°﹣90°+x﹣90°+y＝（x+y）＝90°；

②延長AP交CD延長線于點K，如圖1所示：

∵AE∥CD，

∴∠EAP＝∠DKP，

在△AEP和△KDP中，

∴△AEP≌△KDP（AAS），

∴DK＝AE＝AB，

∵CB＝CD，

∴CA＝CK，

∴∠CAP＝90°﹣y＝∠CBD，

∴AP∥BD；

（2）設∠EAB＝x，∠BCD＝y，

∵∠BAE與∠BCD互為補角，

∴x+y＝180°，

延長AP到K，使PK＝AP，連接KD，如圖2所示：

在△AEP和△KDP中，

∴△AEP≌△KDP（SAS），

∴KD＝AE，∠EAP＝∠DKP，

∴AE∥KD，

延長AB交KD于點T，延長KD交BC延長線于點H，則∠ATK＝180°﹣∠EAB＝180°﹣x＝y，

∴∠ATK＝∠BCD＝y，

∴∠DCH＝∠BTH，

∵∠H＝∠H，

∴∠TBC＝∠CDH，

∴∠ABC＝∠KDC，

連接AC、KC，

在△ABC和△KDC中，

∴△ABC≌△KDC（SAS），

∴CA＝CK，

∵PA＝PK，

∴AP⊥CP．