【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,拋物線y=ax2﹣2ax﹣3a(a<0)與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),經(jīng)過點A的直線l:y=kx+by軸負半軸交于點C,與拋物線的另一個交點為D,且CD=4AC.

(1)求出點A的坐標和點D的橫坐標;

(2)點E是直線l上方的拋物線上的動點,若△ACE的面積的最大值為,求a的值;

(3)設(shè)P是拋物線的對稱軸上的一點,點Q在拋物線上,以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能否成為矩形?若能,直接寫出點P的坐標;若不能,請說明理由.

【答案】(1)A(﹣1,0),點D的橫坐標為4;(2)a=﹣;(3)P(1,﹣ )或(1,﹣4).

【解析】

(1)解方程即可得到結(jié)論;根據(jù)直線l:y=kx+bA(﹣1,0),得到直線l:y=kx+k,

解方程得到點D的橫坐標為4,求得k=a,得到直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a;

(2)過EEFy軸交直線lF,設(shè)E(x,ax2﹣2ax﹣3a),得到F(x,ax+a),求出

EF=ax2﹣3ax﹣4a,根據(jù)三角形的面積公式列方程即可得到結(jié)論;

(3)令ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,得到D(4,5a),設(shè)P(1,m),①若AD

是矩形ADPQ的一條邊,②若AD是矩形APDQ的對角線,列方程即可得到結(jié)論.

解:(1)當y=0時,ax2﹣2ax﹣3a=0,

解得:x1=﹣1,x2=3,

A(﹣1,0),B(3,0),

∵直線l:y=kx+bA(﹣1,0),

0=﹣k+b,

k=b,

∴直線l:y=kx+k,

∵拋物線與直線l交于點A,D,

ax2﹣2ax﹣3a=kx+k,

ax2﹣(2a+k)x﹣3a﹣k=0,

CD=4AC,

∴點D的橫坐標為4;

(2)由(1)知,點D的橫坐標為4,

k=a,

∴直線l的函數(shù)表達式為y=ax+a;

EEFy軸交直線lF,設(shè)E(x,ax2﹣2ax﹣3a),

F(x,ax+a),EF=ax2﹣2ax﹣3a﹣ax﹣a=ax2﹣3ax﹣4a,

SACE=SAFE﹣SCEF,

∴△ACE的面積的最大值=,

∵△ACE的面積的最大值為,

解得

(3)以點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,

ax2﹣2ax﹣3a=ax+a,即ax2﹣3ax﹣4a=0,

解得:x1=﹣1,x2=4,

D(4,5a),

∵拋物線的對稱軸為直線x=1,

設(shè)P(1,m),

①若AD是矩形ADPQ的一條邊,

則易得Q(﹣4,21a),

m=21a+5a=26a,則P(1,26a),

∵四邊形ADPQ是矩形,

∴∠ADP=90°,

AD2+PD2=AP2,

52+(5a)2+32+(26a﹣5a)2=22+(26a)2,

a<0,

②若AD是矩形APDQ的對角線,

則易得Q(2,﹣3a),

m=5a﹣(﹣3a)=8a,則P(1,8a),

∵四邊形APDQ是矩形,

∴∠APD=90°,

AP2+PD2=AD2,

(﹣1﹣1)2+(8a)2+(1﹣4)2+(8a﹣5a)2=52+(5a)2,

a<0,

P(1,﹣4),

綜上所述,點A、D、P、Q為頂點的四邊形能成為矩形,點或(1,﹣4).

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