【題目】閱讀下列兩則材料,回答問題,
材料一:定義直線y=ax+b與直線y=bx+a互為“互助直線”,例如,直線y=x+4與直y=4x+1互為“互助直線“
材料二:對于平面直角坐標系中的任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P1、P2兩點間的直角距離d(P1,P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.例如:Q1(﹣3,1)、Q2(2,4)兩點間的直角距離為d(Q1,Q2)=|﹣3﹣2|+|1﹣4|=8
設P0(x0,y0)為一個定點,Q(x,y)是直線y=ax+b上的動點,我們把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.
(1)計算S(﹣1,6),T(﹣2,3)兩點間的直角距離d(S,T)= ,直線y=2x+3上的一點H(a,b)又是它的“互助直線”上的點,求點H的坐標.
(2)對于直線y=ax+b上的任意一點M(m,n),都有點N(3m,2m﹣3n)在它的“互助直線”上,試求點L(5,﹣)到直線y=ax+b的直角距離.
【答案】(1)4;(2)5.
【解析】
(1)根據(jù)題中所給出的兩點的直角距離公式即可得出結論;求兩條直線的交點即可求H點的坐標;
(2)先表示直線y=ax+b的“互助直線”,并將點M和N分別代入可得方程組,得:(3b+3a﹣2)m=﹣a﹣3b,對于任意一點M(m,n)等式均成立,求出a,b的值,再根據(jù)題意得出關于x的式子,再由絕對值的幾何意義即可得出結論.
解:(1)∵S(﹣1,6)、T(﹣2,3)則S、T兩點的直角距離為d(S,T)=|﹣1﹣(﹣2)|+|6﹣3|=4,
∴S(﹣1,6)、T(﹣2,3)兩點間的直角距離d(S,T)=4.
直線y=2x+3的“互助直線”是y=3x+2,由題意知H是它們的交點,則有:
,解得,,
∴點H的坐標為:H(1,5).
故答案為:4.
(2)∵點M(m,n)是直線y=ax+b上的任意一點,
∴am+b=n①,
∵點N(3m,2m﹣3n)是直線y=ax+b的“互助直線”上的一點,
即N(3m,2m﹣3n)在直線y=bx+a上
∴3bm+a=2m﹣3n②,
將①代入②得,
3bm+a=2m﹣3(am+b),
整理得:3bm+3am﹣2m=﹣a﹣3b,
∴(3b+3a﹣2)m=﹣a﹣3b,
∵對于任意一點M(m,n)等式均成立,
∴,
解得 ,
∴y=x-.
∵Q(x,y)是直線y=x-上的動點,定點L(5,﹣)
∴Q(x,x﹣),
∴d(L,Q)=|5﹣x|+|﹣﹣(x﹣)|=|5﹣x|+|﹣x|,
∵當0≤x≤5時,代數(shù)式|5﹣x|+|﹣x|有最小值5,
∴點L(5,﹣)到直線y=x-的直角距離是5.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某條公共汽車線路收支差額與乘客量的函數(shù)關系如圖所示(收支差額車票收入支出費用),由于目前本條線路虧損,公司有關人員提出了兩條建議:建議(Ⅰ)不改變支出費用,提高車票價格;建議(Ⅱ)不改變車票價格,減少支出費用. 下面給出的四個圖形中,實線和虛線分別表示目前和建議后的函數(shù)關系,則( )
④ ③ ② ①
A. ①反映了建議(Ⅰ),③反映了建議(Ⅱ) B. ②反映了建議(Ⅰ),④反映了建議(Ⅱ)
C. ①反映了建議(Ⅱ),③反映了建議(Ⅰ) D. ②反映了建議(Ⅱ),④反映了建議(Ⅰ)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線分別交軸、軸于點A、B,拋物線過A,B兩點,點P是線段AB上一動點,過點P作PC 軸于點C,交拋物線于點D.
(1)若拋物線的解析式為,設其頂點為M,其對稱軸交AB于點N.
①求點M、N的坐標;
②是否存在點P,使四邊形MNPD為菱形?并說明理由;
(2)當點P的橫坐標為1時,是否存在這樣的拋物線,使得以B、P、D為頂點的三角形與AOB相似?若存在,求出滿足條件的拋物線的解析式;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知,在△ABC中,∠A=90°,AB=AC,點D為BC的中點.
(1)如圖①,若點E、F分別為AB、AC上的點,且DE⊥DF,求證:BE=AF;
(2)若點E、F分別為AB、CA延長線上的點,且DE⊥DF,那么BE=AF嗎?請利用圖②說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某公司推出一款新產(chǎn)品,通過市場調研后,按三種顏色受歡迎的程度分別對A顏色、B顏色、C顏色的產(chǎn)品在成本的基礎上分別加價40%,50%,60%出售(三種顏色產(chǎn)品的成本一樣),經(jīng)過一個季度的經(jīng)營后,發(fā)現(xiàn)C顏色產(chǎn)品的銷量占總銷量的40%,三種顏色產(chǎn)品的總利潤率為51.5%,第二個季度,公司決定對A產(chǎn)品進行升級,升級后A產(chǎn)品的成本提高了25%,其銷量提高了60%,利潤率為原來的兩倍;B產(chǎn)品的銷量提高到與升級后的A產(chǎn)品的銷量一樣,C產(chǎn)品的銷量比第一季度提高了50%,則第二個季度的總利潤率為_____.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,直線與軸交于點,與軸交于點,點是的中點,繞點按順時針旋轉,且,的一邊交軸于點,開始時另一邊經(jīng)過點,點坐標為,當旋轉過程中,射線與軸的交點由點到點的過程中,則經(jīng)過點三點的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為( )
A. B. C. D.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】有甲、乙兩個不透明的布袋,甲袋中有兩個完全相同的小球,分別標有數(shù)字1和-2;乙袋中有三個完全相同的小球,分別標有數(shù)字-1、0和2.小麗先從甲袋中隨機取出一個小球,記錄下小球上的數(shù)字為x;再從乙袋中隨機取出一個小球,記錄下小球上的數(shù)字為y,設點A的坐標為(x,y).
(1)請用表格或樹狀圖列出點A所有可能的坐標;
(2)求點A在反比例函數(shù)y=圖象上的概率.
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