【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸交于點,與軸交于點,點是的中點,繞點按順時針旋轉(zhuǎn),且,的一邊交軸于點,開始時另一邊經(jīng)過點,點坐標(biāo)為,當(dāng)旋轉(zhuǎn)過程中,射線與軸的交點由點到點的過程中,則經(jīng)過點三點的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
此題屬于半角型題目.由題意得,圓心始終在線段BC的垂直平分線上,可證△BFC是直角三角形,所以一開始經(jīng)過點三點的圓的圓心在BC的中點N.開始在BC的中點N處,當(dāng)射線CD經(jīng)過點G時,如圖,此時圓心是F′B的垂直平分線與BC的垂直平分線的交點I,在 旋轉(zhuǎn)過程中,射線與軸的交點由點到點的過程中,經(jīng)過點三點的圓的圓心所經(jīng)過的路徑長為線段NI的長.
如圖:旋轉(zhuǎn)到射線經(jīng)過點時,表示為∠E′CD′,F′B的垂直平分線MI與BC的垂直平分線NI交于點I, MI與BN交于點 H′.
由題意得,A(4,0),B(0,4),AB的中點C(2,2),
∴∠COF=45°,又∵∠OCE=45°,∴∠CFO=90°,
過點C作CA′⊥x軸于點A′,即四邊形A′OFC是邊長為2的正方形.
在A′O上截取A′G′=FF′,易證Rt△CA′G′≌Rt△CFF′,
∴CF′=C G′,∠A′CG′=∠FCF′,即∠F′CG′=90°.
設(shè)A′G′=FF′=x,則O G′=2-x,F′H=H G′=x+1.
Rt△OHG′中,∵OH2+ O G′2= H G′2,即12+(2-x)2=(x+1)2,
解得:x= .
∴F′B=4-2-=.MB= F′B ==MH′,
在等腰直角三角形BM H′和等腰直角三角形 H′NI中,B H′= ,
∵BN=AB=×4=,
∴NI=H′N=BN-B H′=- =.
故選:A.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,的半徑為1,A、B兩點坐標(biāo)分別為、已知點P是上的一點,點Q是線段AB上的一點,設(shè)的面積為S,當(dāng)為直角三角形時,S的取值范圍為______.
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【題目】(本題6分)甲、乙兩人進行摸牌游戲.現(xiàn)有三張形狀大小完全相同的牌,正面分別標(biāo)有數(shù)字2,3,5.將三張牌背面朝上,洗勻后放在桌子上.
(1)甲從中隨機抽取一張牌,記錄數(shù)字后放回洗勻,乙再隨機抽取一張.請用列表法或畫樹狀圖的方法,求兩人抽取相同數(shù)字的概率;
(2)若兩人抽取的數(shù)字和為2的倍數(shù),則甲獲勝;若抽取的數(shù)字和為5的倍數(shù),則乙獲勝.這個游戲公平嗎?請用概率的知識加以解釋.
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【題目】從﹣2,﹣1,3這三個數(shù)中隨機抽取兩個數(shù)分別記為x,y,把點M的坐標(biāo)記為(x,y),若點N為(0,3),則在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)直線MN經(jīng)過過四象限的概率為_____.
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【題目】閱讀下列兩則材料,回答問題,
材料一:定義直線y=ax+b與直線y=bx+a互為“互助直線”,例如,直線y=x+4與直y=4x+1互為“互助直線“
材料二:對于平面直角坐標(biāo)系中的任意兩點P1(x1,y1)、P2(x2,y2),P1、P2兩點間的直角距離d(P1,P2)=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|.例如:Q1(﹣3,1)、Q2(2,4)兩點間的直角距離為d(Q1,Q2)=|﹣3﹣2|+|1﹣4|=8
設(shè)P0(x0,y0)為一個定點,Q(x,y)是直線y=ax+b上的動點,我們把d(P0,Q)的最小值叫做P0到直線y=ax+b的直角距離.
(1)計算S(﹣1,6),T(﹣2,3)兩點間的直角距離d(S,T)= ,直線y=2x+3上的一點H(a,b)又是它的“互助直線”上的點,求點H的坐標(biāo).
(2)對于直線y=ax+b上的任意一點M(m,n),都有點N(3m,2m﹣3n)在它的“互助直線”上,試求點L(5,﹣)到直線y=ax+b的直角距離.
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【題目】如圖,已知點的坐標(biāo)是,點的坐標(biāo)是,以線段為直徑作⊙,交軸的正半軸于點,過、、三點作拋物線.
(1)求拋物線的解析式;
(2)連結(jié),,點是延長線上一點,的角平分線交⊙于點,連結(jié),在直線上找一點,使得的周長最小,并求出此時點的坐標(biāo);
(3)在(2)的條件下,拋物線上是否存在點,使得,若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,反比例函數(shù)(x>0,k>0)的圖象經(jīng)過點A(1,2),B(m,n)(m>1),過點B作y軸的垂線,垂足為C.
(1)求該反比例函數(shù)解析式;
(2)當(dāng)△ABC面積為2時,求直線AB的函數(shù)解析式.
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【題目】如圖,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象過點A(0,3),且與反比例函數(shù)y=的圖象相交于B、C兩點.若AB=BC,則k1k2的值為_____.
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【題目】如圖,已知△BAC為圓O內(nèi)接三角形,AB=AC,D為⊙O上一點,連接CD、BD,BD與AC交于點E,且BC2=ACCE
①求證:∠CDB=∠CBD;
②若∠D=30°,且⊙O的半徑為3+,I為△BCD內(nèi)心,求OI的長.
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