Question

如圖，在△ABC中，分別以AB、AC、BC為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABE、等邊△ACD、等邊△BCF．
（1）求證：△ABC≌△EBF；
（2）求證：四邊形ADFE為平行四邊形；
（3）探究下列問題：（只填滿足的條件，不需證明）
①當(dāng)△ABC滿足

 

條件時(shí)，四邊形ADFE是矩形；
②當(dāng)△ABC滿足

 

條件時(shí)，以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形不存在．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì),平行四邊形的判定,矩形的判定

專題：計(jì)算題

分析：（1）由三角形BCF與三角形AEB為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，一對(duì)角相等，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS即可得證；
（2）同理得到三角形FCD與三角形ABC全等，進(jìn)而得到四邊形AEFD兩組對(duì)邊相等，即可得證；
（3）①若四邊形ADFE為矩形，則有∠EAD=90°，利用周角定義得到∠BAC=150°，即可得到結(jié)果；
②當(dāng)三角形ABC為等邊三角形，即AB=BC=AC，此時(shí)A與F重合，以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形不存在．

解答：解：（1）∵△AEB和△BFC都為等邊三角形，
∴∠ABE=∠FBC=60°，AB=EB，F(xiàn)B=CB，
∴∠ABE-∠ABF=∠FBC-∠ABF，即∠EBF=∠ABC，
在△BEF和△BAC中，

EB=AB ∠EBF=∠ABC FB=CB

，
∴△BEF≌△BAC（SAS）；
（2）由（1）得△BEF≌△BAC，同理得到△ABC≌△DEC，
∴EF=AC=AD，F(xiàn)D=AB=AE，
∴四邊形ADFE為矩形；
（3）①若四邊形ADFE為矩形，則有∠EAD=90°，此時(shí)∠BAC=360°-（60°+60°+90°）=150°，
則當(dāng)△ABC滿足∠BAC=150°時(shí)，四邊形ADFE是矩形；
②當(dāng)△ABC滿足AB=BC=AC時(shí)，∠BAC=60°，此時(shí)∠BAE=∠BAC=∠CAD=60°，
∴∠EAD=180°，即AE與AD在同一條直線上，
則當(dāng)△ABC滿足AB=BC=AC時(shí)，以A、D、F、E為頂點(diǎn)的四邊形不存在．
故答案為：（3）①∠BAC=150°；②AB=BC=AC．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．