Question

如圖，將矩形ABCD的一邊CD沿DE折疊，使點C落在AE上，
（1）如圖1，若折痕DE=2

5

，且tan∠DAF=

3

4

，求矩形ABCD的周長；
（2）如圖2，過點F作FM∥AB，交BC于M，在AD邊的延長線上截取DN=EM，連接EN、AC．求證：AC⊥EN．

Answer 1

考點：翻折變換（折疊問題）

專題：

分析：（1）設DF=3x，AF=4x，可求出AD，證明△ADF≌△EAB，從而確定EC的長度，在Rt△DCE中利用勾股定理可求出x的值，繼而得出矩形的周長；
（2）連接DM交AC于H，延長DF交BC于K，通過證明△DFM∽△AEC，得到∠EAC=∠FDM，繼而證明DM⊥AC，容易判斷四邊形DMEN是平行四邊形，繼而可得結論．

解答：解：（1）由 tan∠DAF=

3

4

，可設DF=3x，AF=4x，
在Rt△ADF中，AD=

AF2+DF2

=5x，
由矩形及折疊的性質可得：CD=DF=AB，
∵在△ADF和△AEB中，

∠ADF=∠AEB ∠AFD=∠ABE DF=AB

，
∴△ADF≌△EAB，
∴AE=AD=5x，BE=AF=4x，
∴EC=BC-BE=AD-BE=x，
在△DCE中，DE²=CE²+CD²，即（2

5

）²=x²+（3x）²，
解得：x=

2

，
則矩形的周長為=2（AB+AD）=16x=16

2

．

（2）連接DM交AC于H，延長DF交BC于K，

∴

FM

EC

=

FM

EF

=

AB

AE

=

DF

AE

，
∵∠KFM=∠FEM（同角的余角相等，都是∠EFM的余角），
∴∠DFM=∠AEC（等角的補角相等），
∴△DFM∽△AEC，
∴∠EAC=∠FDM，
∵∠EAC+∠AHF=90°，∠AHF=∠DHP，
∴∠FDM+∠DHP=90°，
∴DM⊥AC，
∵DN

∥

.

ME，
∴四邊形DMEN是平行四邊形，
∴AC⊥EN．

點評：本題考查了翻折變換的知識，涉及了全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質及平行四邊形的判定，綜合性較強，解答本題需要將所學的知識融會貫通．