Question

如圖1，△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，F(xiàn)是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF，連接BF、AD．
（1）猜想圖1中線段BF、AD的數(shù)量關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系，直接寫出結(jié)論，

 

．
（2）將圖1中的正方式CDEF，繞著點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖2的情形，BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷（1）中得到的結(jié)論是否仍然成立，證明你的判斷．
（3）將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度α，得到如圖3的情形，若∠α=105°，AC=BC=2

3

+2，點E恰 好落在斜邊AB上，求正方形CDEF的邊長．

Answer 1

考點：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計算題

分析：（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得CA=CB，再根據(jù)正方形的性質(zhì)得CF=CD，∠ACD=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的定義得到把△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CAD，然后根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF=AD，BF⊥AD．
（2）由（1）得CB=CA，CF=CD，∠BCA=∠FCD=90°，易得∠BCF=∠ACD，所以把△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CAD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得BF=AD，BF⊥AD；
（3）如圖4，作EH⊥AC于H，連結(jié)CE，由于將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度105°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠ACD=105°-90°=15°；再根據(jù)正方形的性質(zhì)得∠CDE=45°，則∠ACE=60°，而△ABC為等腰直角三角形，則∠A=45°；在Rt△CEH中，設(shè)CH=x，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CE=2x，EH=

3

x，在Rt△AEH中，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得AH=EH=

3

x，則AH+CH=

3

x+x，所以

3

x+x=2

3

+2，解得x=2，則CE=2x=4，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)計算出CD=

2

2

CE=2

2

．

解答：解：（1）∵△ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90°，
∴CA=CB，
∵四邊形CDEF為正方形，
∴CF=CD，∠ACD=90°，
∴把△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CAD，
∴BF=AD，BF⊥AD．
故答案為BF=AD，BF⊥AD；
（2）（1）中得到的結(jié)論仍然成立．理由如下：
由（1）得CB=CA，CF=CD，∠BCA=∠FCD=90°，
∴∠BCA+∠ACF=∠ACF+∠FCD，即∠BCF=∠ACD，
∴把△CBF繞點C順時針旋轉(zhuǎn)90°可得到△CAD，
∴BF=AD，BF⊥AD；
（3）如圖4，作EH⊥AC于H，連結(jié)CE，
∵將圖1中的正方形CDEF，繞著點C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)任意角度105°，
∴∠ACD=105°-90°=15°，
∵四邊形CDEF為正方形，
∴∠CDE=90°，
∴∠ACE=45°+15°=60°，
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠A=45°，
在Rt△CEH中，設(shè)CH=x，
∴CE=2x，EH=

3

x，
在Rt△AEH中，AH=EH=

3

x，
∴AH+CH=

3

x+x，
而AC=2

3

+2，
∴

3

x+x=2

3

+2，解得x=2，
∴CE=2x=4，
∴CD=

2

2

CE=2

2

，
即正方形CDEF的邊長為2

2

．

點評：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)前后兩圖形全等；對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)．