Question

如圖，在一塊三角形區(qū)域ABC中，∠C=90°，邊AC=8m，BC=6m，現(xiàn)要在△ABC內(nèi)建造一個矩形水池DEFG，如圖的設(shè)計方案是使DE在AB上．
（1）求△ABC中AB邊上的高h；
（2）設(shè)DG=x，當x取何值時，水池DEFG的面積（S）最大？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理易求AB的長，運用等積法求高；
（2）S=GD•GF=x•GF，利用△CGF∽△CAB，用含x的式子表示GF，從而得函數(shù)表達式，運用函數(shù)性質(zhì)求解．

解答：解：（1）如圖，作CH⊥AB于點H，交FG于點K．
由∠C=90°AC=8，BC=6，易得AB=10．
∵S_△ABC=

1

2

AC×BC=

1

2

AB•CH，
∴h=CH=

6×8

10

=

24

5

=4.8．

（2）如圖，設(shè)DE=GF=y，
∵GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，由此可得

y

10

=

4.8-x

4.8

．
∴y=10-

25

12

x
∴S=xy=x(10-

25

12

x)
=-

25

12

x2+10x
=-

25

12

(x-2.4)2+12．
∵a=-

25

12

＜0，
∴當x=2.4時，S有最大值12．
答：當x取2.4m時，水池DEFG的面積（S）最大，且S=12m²．
（其它證法合理參照給分）

點評：此題的關(guān)鍵是用含x的式子表示矩形的長，涉及相似形的性質(zhì)．運用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值常用配方法或公式法．