Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=-

1

4

x2-2x的頂點為A，與x軸交于O，B兩點，點P（m，0）是線段OB上一動點，過點P作y軸的平行線，交直線y=-

1

4

x于點E，交拋物線于點F，以EF為一邊，在EF的左側作矩形EFGH．若FG=

3

2

，則當矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對稱圖形時，m的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：把拋物線整理成頂點式形式并求出頂點A的坐標，令y=0，解方程求出點B的坐標，利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后判斷出△AOB是等腰直角三角形，再分①矩形EFGH為正方形時，根據(jù)拋物線和直線解析式表示出EF，再根據(jù)EF=FG列出方程求解即可；②矩形EFGH關于拋物線對稱軸對稱時，根據(jù)軸對稱的性質，對稱軸向有

1

2

FG即為點P的橫坐標；③點H在AB上時，設直線y=-

1

4

x與直線AB相交于點C，聯(lián)立兩直線解析式求出點C的坐標，然后求出點H在直線AB上時，求出△CHE和△CBO相似，利用相似三角形對應邊成比例求出

CE

CO

，然后求出

OE

OC

，過點C作CD⊥x軸于D，求出△OEP和△OCD相似，利用相似三角形對應邊成比例列式求出PE，從而得到點E的縱坐標，再代入直線解析式求出點E的橫坐標，即為點P的橫坐標，從此位置到點E與點C重合，重疊部分為等腰直角三角形，是軸對稱圖形．

解答：解：∵y=-

1

4

x²-2x=-

1

4

（x+4）²+4，
∴頂點A的坐標為（-4，4），
令y=0，則-

1

4

x²-2x=0，
整理得，x²+8x=0，
解得x₁=0，x₂=-8，
∴點B的坐標為（-8，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

-4k+b=4 -8k+b=0

，
解得

k=1 b=8

，
∴直線AB的解析式為y=x+8，
∴∠ABO=45°，
由拋物線的對稱性得，△AOB是等腰直角三角形，
①矩形EFGH為正方形時，EF=FG，
∴（-

1

4

m²-2m）-（-

1

4

m）=

3

2

，
整理得，m²+7m+6=0，
解得m₁=-1，m₂=-6；
②矩形EFGH關于拋物線對稱軸對稱時，
點P的橫坐標m=-4+

1

2

FG=-4+

1

2

×

3

2

=-4+

3

4

=-

13

4

；
③如圖，點H在AB上時，設直線y=-

1

4

x與直線AB相交于點C，
聯(lián)立

y=x+8 y=- 1 4 x

解得

x=- 32 5 y= 8 5

，
∴點C的坐標為（-

32

5

，

8

5

），
∵PE∥y軸，四邊形EFGH為矩形，
∴EH∥x軸，
∴△CHE∽△CBO，
∴

CE

OC

=

EH

OB

=

3 2

8

=

3

16

，
∴

OE

OC

=

13

16

，
過點C作CD⊥x軸于D，則CD∥PE，
∴△OEP∽△OCD，
∴

PE

CD

=

OE

OC

，
即

PE

8 5

=

13

16

，
解得PE=

13

10

，
∴點E的縱坐標為

13

10

，
代入y=-

1

4

x得，-

1

4

x=

13

10

，
解得x=-

26

5

，
∴點P的橫坐標m=-

26

5

，
∴從此位置到點E與點C重合，重疊部分為等腰直角三角形，
∴-

32

5

＜m≤-

26

5

；
綜上所述，矩形EFGH與△OAB重疊部分為軸對稱圖形時，m的取值范圍是：m=-1或-6或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．
故答案為：m=-1或-

13

4

或-

32

5

＜m≤-

26

5

．

點評：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，矩形的性質，軸對稱的性質，等腰直角三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，難點在于要根據(jù)矩形EFGH的位置分情況討論．