【題目】如圖:有一塊余料的形狀是銳角三角形ABC,邊BC=120mm,高AD=80mm

1)如果把它加工成長(zhǎng)方形零件,使長(zhǎng)方形的一邊在BC上,其余兩個(gè)頂點(diǎn)分別在AB、AC上,設(shè)長(zhǎng)方形寬xmm,面積為ymm2,那么寬為多少時(shí),其面積最大.最大面積是多少?

(2)若以BC的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系,B(-60,0),AD=BD

求過(guò)A、BC三點(diǎn)的拋物線解析式;

在此拋物線對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)R,使以A、BR為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形.若存在,請(qǐng)直接寫出R點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.

【答案】1 當(dāng)x40時(shí),y最大值2400 ;2;3)見(jiàn)解析.

【解析】分析:1)設(shè)PQ=x,利用相似三角形的性質(zhì)可得出QN=﹣x+120,根據(jù)矩形的面積公式即可得出y=﹣x2+120x,配方后即可找出面積的最大值;

2)①依照題意畫出圖形,AD的長(zhǎng)度可得出點(diǎn)A的坐標(biāo)根據(jù)點(diǎn)AB的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式

設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0n),AB=80AR=,BR=,分∠ABR=90°、ARB=90°和∠BAR=90°三種情況考慮,利用勾股定理即可得出關(guān)于n的一元一次(或一元二次)方程解之即可得出結(jié)論.

詳解:(1PQBCMNBC,ADBC,PQAD,MNAD∴△BPQ∽△BADCAD∽△CMN,BQ=BD,CN=CD

設(shè)PQ=xQN=BCBQCN=120BD+CD)=﹣x+120,

y=PQQN=x(﹣x+120)=﹣x2+120x=﹣x402+2400,

∴當(dāng)x=40時(shí),y取最大值2400,∴寬為40mm時(shí)其面積最大.最大面積是2400mm2

2)①依照題意畫出圖形,如圖所示.

設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+cB(﹣60,0)、A2080)代入y=ax2+c,解得,∴過(guò)AB、C三點(diǎn)的拋物線解析式為y=﹣x2+90

②假設(shè)存在,設(shè)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,n),AB=80AR=,BR=

分三種情況考慮

①當(dāng)∠ABR=90°時(shí)AR2=AB2+BR2400+80n2=12800+3600+n2,解得n=﹣60,此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,﹣60);

②當(dāng)∠ARB=90°時(shí),AB2=AR2+BR212800=400+80n2+3600+n2整理得n280n1200=0,解得n1=,n2=此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,)或(0,);

③當(dāng)∠BAR=90°時(shí),BR2=AB2+AR23600+n2=12800+400+80n2,解得n=100,此時(shí)點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,100).

綜上所述在此拋物線對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)R,使以AB、R為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(0,﹣60)或0)或(0或(0,100).

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A. 4B. 3C. 2D. 1

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