Question

（1）如圖①，在△ABC中，分別以AB，AC為邊作等邊△ABD和等邊△ACE，猜想CD與BE有什么樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出結(jié)論，不需證明；
（2）如圖②，在（1）的條件下，若△ABC中，AB=AC，連結(jié)DE分別交AB、AC于點M、N，猜想DM與EN有什么樣的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論；
（3）如圖③，在（1）的條件下，若△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，連結(jié)DE分別交AB、AC于點M、N，則有DM=EM，請證明．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根據(jù)SAS推出△DAC≌△BAE即可；
（2）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，求出AD=AE，AM=AN，根據(jù)SAS推出△ADM≌△AEN即可；
（3）過D作DG⊥AB于G，證△DGB≌△ACB，推出DG=AC，求出AE=DG，∠EAM=∠DGA，根據(jù)AAS推出△DGM≌△EAM即可．

解答：解：（1）CD=EB，
理由是：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中，

AD=AB ∠DAC=∠BAE AC=AE

，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴CD=EB；

（2）DM=EN，
證明：∵△ABD和△ACE是等邊三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠DAB=∠EAC=60°，
∵AB=AC，
∴AD=AE，
∴∠ADE=∠AED，
∴∠AMN=∠ADE+∠EAB，∠ANM=∠AED+∠EAC，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
在△ADM和△AEN中，

AD=AE ∠DAM=∠EAN=60° AM=AN

，
∴△ADM≌△AEN（SAS），
∵DM=EN；

（3）證明：過D作DG⊥AB于G，
則∠DGB=∠ACB=90°，
在△DGB和△ACB中，

∠DBG=∠ABC=60° ∠DGB=∠ACB DB=AB

，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
∵AE=AC，
∴AE=DG，
∵∠EAM=60°+30°=90°=∠DGA，
在△DGM和△EAM中，

∠DMG=∠AME ∠DGM=∠EAM DG=AE

，
∴△DGM≌△EAM（AAS），
∴DM=EM．

點評：本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)的應用，全等三角形的判定結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段相等或角相等的工具，注意：全等三角形的對應邊相等，對應角相等，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．