【題目】如圖,已知直線ly=﹣1和拋物線Lyax2+bx+ca≠0),拋物線L的頂點為原點,且經(jīng)過點A(2,),直線ykx+1y軸交于點F,與拋物線L交于點Bx1,y1),Cx2,y2),且x1x2

1)求拋物線L的解析式;

2)點P是拋物線L上一動點.

①以點P為圓心,PF為半徑作⊙P,試判斷⊙P與直線l的位置關(guān)系,并說明理由;

②若點Q2,3),當(dāng)|PQPF|的值最小時,求點P的坐標(biāo);

3)求證:無論k為何值,直線l總是與以BC為直徑的圓相切.

【答案】1yx2;(2)①點⊙P與直線l的位置關(guān)系為相切;理由見解析;②點P的坐標(biāo)為(2,3);(3)見解析.

【解析】

1)拋物線的表達(dá)式為:y=ax2,將點A坐標(biāo)代入上式,即可求解;
2)①點F01),設(shè):點Pm,m2),則PF=m2+1,而點P到直線l的距離為:m2+1,即可求解;②當(dāng)點P、Q、F三點共線時,|PQ-PF|最小,即可求解;
3x2-x1= =4,設(shè)直線BC的傾斜角為α,則tanα=k,則cosα= ,則BC= =4k2+1),則BC=2k2+2,設(shè)BC的中點為M2k,2k2+1),則點M到直線l的距離為:2k2+2,即可求解.

1)拋物線的表達(dá)式為:y=ax2
將點A坐標(biāo)代入上式得:=a22,解得:a=
故拋物線的表達(dá)式為:y=x2①;
2)①點F0,1),設(shè):點Pm,m2),
PF=m2+1=m2+1
而點P到直線l的距離為:m2+1,
則⊙P與直線l的位置關(guān)系為相切;
②當(dāng)點PQ、F三點共線時,|PQ-PF|最小,
將點FQ的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b并解得:
直線FQ的函數(shù)表達(dá)式為:y=x+1…②,
聯(lián)立①②并解得:x=2,
故點P的坐標(biāo)為:(23);
3)將拋物線的表達(dá)式與直線y=kx+1聯(lián)立并整理得:
x2-4kx-4=0
x1+x2=4k,x1x2=-4,
y1+y2=kx1+x2+2=4k2+2,
x2-x1==4,
設(shè)直線BC的傾斜角為α,則tanα=k,則cosα=,則BC==4k2+1),則BC=2k2+2,
設(shè)BC的中點為M2k2k2+1),則點M到直線l的距離為:2k2+2,
故直線l總是與以BC為直徑的圓相切.

練習(xí)冊系列答案
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類別

頻數(shù)(人數(shù))

頻率

小說

0.5

戲劇

4

散文

10

0.25

其他

6

合計

1

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