【題目】如圖(1)已知矩形AOCD在平面直角坐標系xOy中,∠CAO60°OA2,B點的坐標為(2,0),動點M以每秒2個單位長度的速度沿ACB運動(M點不與點A、點B重合),設運動時間為t秒.

1)求經(jīng)過B、C、D三點的拋物線解析式;

2)點P在(1)中的拋物線上,當MAC中點時,若PAM≌△PDM,求點P的坐標;

3)當點MCB上運動時,如圖(2)過點MMEADMFx軸,垂足分別為EF,設矩形AEMFABC重疊部分面積為S,求St的函數(shù)關系式,并求出S的最大值;

4)如圖(3)點P在(1)中的拋物線上,QCA延長線上的一點,且PQ兩點均在第三象限內(nèi),QA是位于直線BP同側(cè)的不同兩點,若點Px軸的距離為d,QPB的面積為2d,求點P的坐標.

【答案】(1)y= ;(2)點P(﹣1+,)或(﹣1);(3)S=﹣t2+,當t時,S最大=;(4)P(﹣8,-10

【解析】

1)由直角三角形的性質(zhì)可求點C,點D坐標,由待定系數(shù)法可求解析式;

2)由全等三角形的性質(zhì)可得DM=AM,PD=AP,可得點PAD的垂直平分線上,可求點P的縱坐標,代入可求解;

3)由題意可證△ACB是等邊三角形,可得CM=2t-4,BF82t)=4t,MF4t,AFt,即可求重疊部分面積,由二次函數(shù)的性質(zhì)可求解;

4)由題意先求出直線AC,BP的解析式,即可求點P坐標.

解:(1四邊形ABCD是矩形,

∴CDAO2∠AOC90°,且∠CAO60°,OA2,

∴OC2

C02),點D(﹣2,2),

設拋物線解析式為yax+12+c,代B20),C0,2

解得:

拋物線解析式為y=﹣x+12+,

2∵MAC中點,

∴MAMD,

∵△PAM≌△PDM,

∴PAPD,

PAD的垂直平分線上

P縱坐標為,

∴x1=﹣1+,x2=﹣1

P(﹣1+)或(﹣1

3)如圖2

∵AOBO2,CO⊥AB

∴ACBC4,∠CAO60°,

∴△ACB是等邊三角形,

由題意可得:CM2t4,BF82t)=4tMF4t,AFt

四邊形AEMF是矩形,

∴AEMF,EMAFEM∥AB,

∴∠CMH∠CBA60°,∠CHM∠CAO60°,

∴△CMH是等邊三角形,

∴CMMH2t4

∵S2t4+t)(4t)=﹣t2+

t時,S最大=,

4∵SABP×4×d2d

SBPQ2d

∴SABPSBPQ,

∴AQ∥BP

設直線AC解析式為ykx+b,

A(﹣2,0),C0,2)代入其中,得

直線AC解析式為:yx+2,

設直線BP 的解析式為yx+n,把B2,0)代入其中,得

02+n,

∴b=﹣2

直線BP解析式為:yx2,

x2,

∴x12(舍去),x2=﹣8,

∴P(﹣8,-10).

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