Question

【題目】定義: 對于平面直角坐標(biāo)系xOy上的點(diǎn)P(a, b) 和拋物線, 我們稱P(a, b)是拋物線的相伴點(diǎn), 拋物線是點(diǎn)P(a, b) 的相伴拋物線．

如圖，已知點(diǎn)A(-2, -2)，B(4, -2)，C(1, 4)．

(1) 點(diǎn)A的相伴拋物線的解析式為 　 ；過A, B兩點(diǎn)的拋物線的相伴點(diǎn)坐標(biāo)為 　 ；

(2) 設(shè)點(diǎn)P(a, b) 在直線AC上運(yùn)動(dòng):

①點(diǎn)P(a, b)的相伴拋物線的頂點(diǎn)都在同一條拋物線Ω上, 求拋物線Ω的解析式．

②當(dāng)點(diǎn)P(a, b)的相伴拋物線的頂點(diǎn)落在△ABC 內(nèi)部時(shí), 請直接寫出 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)y=x2-2x-2;P(-2,-10)；（2）①y=-x2-4x+2；②．

【解析】

（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣2．

故答案為：y=x2﹣2x﹣2；將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b并解得：a=﹣2，b=﹣10；

（2）①直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2，設(shè)點(diǎn)P(m，2m+2)，則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+mx+2m+2，頂點(diǎn)為：(m，m2+2m+2)，即可求解；

②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，即可求解．

（1）a=b=﹣2，故拋物線的表達(dá)式為：y=x2﹣2x﹣2．

故答案為：y=x2﹣2x﹣2；

將點(diǎn)A、B坐標(biāo)代入y=x2+ax+b得：，解得：a=﹣2，b=﹣10．

故答案為：(﹣2，﹣10)；

（2）①由點(diǎn)A、C的坐標(biāo)得：直線AC的表達(dá)式為：y=2x+2，

設(shè)點(diǎn)P(m，2m+2)，則拋物線的表達(dá)式為：y=x2+mx+2m+2，

頂點(diǎn)為：(m，m2+2m+2)，

令xm，則m=﹣2x，

則ym2+2m+2=﹣x2﹣4x+2，

即拋物線Ω的解析式為：y=﹣x2﹣4x+2；

②如圖所示，Ω拋物線落在△ABC內(nèi)部為EF段，

拋物線與直線AC的交點(diǎn)為點(diǎn)E(0，2)；

當(dāng)y=﹣2時(shí)，即y=﹣x2﹣4x+2=﹣2，解得：x=﹣2，

故點(diǎn)F(﹣2，﹣2)；

故0＜x＜﹣2+2，由①知：a=m=﹣2x，

故：4﹣4a＜0．