Question

【題目】（1）（方法回顧）連接三角形任意兩邊中點(diǎn)的線段叫三角形的中位線，探索三角形中位線的性質(zhì)，方法如下：

①如圖1，D、E分別是AB、AC中點(diǎn)，延長(zhǎng)DE到F，使EF=DE，連接CF；

②證明△ADE≌△CFE，再證四邊形DBCF是平行四邊形，從而得到線段DE與BC的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系分別為_______、________；

（2）（初步運(yùn)用）如圖2，正方形ABCD中，E為邊AD中點(diǎn)，G、F分別在邊AB、CD上，且AG＝2，DF＝3，∠GEF＝90°，求GF長(zhǎng)．

（3）（拓展延伸）如圖3，四邊形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝110°，E為AD中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝2，DF＝，∠GEF＝90°，求GF長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）DE//BC，DE=BC；（2）GF長(zhǎng)為5；（3）GF長(zhǎng)為．

【解析】

（1）根據(jù)材料提供的思路進(jìn)行證明即可；

（2）延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，可證得△AEG≌△DEH，結(jié)合條件可證明EF垂直平分GH，可得GF=FH，可求得GF的長(zhǎng)；

（3）過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，可證明△AEG≌△DEH，結(jié)合條件可得到△HPD為30度的直角三角形，可求得PF的長(zhǎng)，在Rt△HFP中，可求得HF，則可求得GF的長(zhǎng)．

解：（1）如圖1，在△ABC中，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使得EF=DE，連接CF，

E是AC的中點(diǎn)，

在△ADE和△CFE中

∵

∴△ADE≌△CFE（SAS），

∴AD=CF，∠A=∠ECF

∴AD∥CF

∵AD=BD

∴BD=CF，

∵BD∥CF

∴四邊形DBCF是平行四邊形，

∴DE∥BC，DF=BC ∴DE=DF=BC．

故答案為：DE//BC，DE=BC；

（2）如圖2，延長(zhǎng)GE、FD交于點(diǎn)H，

∵E為AD中點(diǎn)，

∴EA=ED，且∠A=∠EDH=90°，

在△AEG和△DEH中，

∴△AEG≌△DEH（ASA），

∴AG=HD=2，EG=EH，

∵∠GEF=90°，

∴EF垂直平分GH，

∴GF=HF=DH+DF=2+3=5；

（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交GE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，過(guò)H作CD的垂線，垂足為P，連接HF，

同（2）可知△AEG≌△DEH，GF=HF，

∴∠A=∠HDE=100°，AG=HD=2，

∵∠ADC=110°，

∴∠HDF=360°-100°-110°=150°，

∴∠HDP=30°，

∵∠DPH=90°

∴PH=1，PD=，

∵DF=，

∴PF=PD+DF=

在Rt△HFP中，∠HPF=90°，HP=1，PF=，

∴HF=

∴GF=FH=