Question

已知拋物線y=

3

2

x2+bx+c與x軸相交于A（-1，0）、B（3，0）兩點，頂點為C．
 （1）求拋物線的解析式；
 （2）在拋物線的對稱軸上是否存在一點P，使得P到x軸的距離等于P到BC的距離．

Answer 1

考點：拋物線與x軸的交點

專題：綜合題

分析：（1）將A與B坐標代入拋物線解析式求出b與c的值，確定出拋物線解析式；
（2）由拋物線解析式找出頂點C坐標與對稱軸方程，假設存在這樣的P（1，b），使得P到x軸的距離等于P到BC的距離，由B與C坐標確定出直線BC解析式，利用點到直線的距離公式列出關于b的方程，求出方程的解得到b的值，確定出滿足題意P坐標即可．

解答：解：（1）將A（-1，0）和B（3，0）代入拋物線解析式得：

3 2 -b+c=0 9 3 2 +3b+c=0

，
解得：b=-

3

，c=-

3 3

2

，
則拋物線解析式為y=

3

2

x²-

3

x-

3 3

2

；

（2）存在，理由為：
拋物線頂點C坐標為（1，-2

3

），對稱軸為直線x=1，
若存在這樣的P點，設P（1，b），且-2

3

＜b＜0，即P到x軸的距離為|b|，
∵B（3，0），C（1，-2

3

），
∴直線BC解析式為y-0=

-2 3 -0

1-3

（x-3），即

3

x-y-3

3

=0，
∴點P到直線BC的距離d=

| 3 -b-3 3 |

2

=

b+2 3

2

，
根據(jù)題意得：-b=

b+2 3

2

，
解得：b=-

2 3

3

，
則存在這樣的P點（1，-

2 3

3

），使得P到x軸的距離等于P到BC的距離．

點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，待定系數(shù)法確定拋物線解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，直線的點斜式方程，點到直線的距離公式，弄清題意是解本題的關鍵．